[논문 리뷰] Sparse Identification of Nonlinear Dynamics with Control (SINDYc)

Steven L. Brunton, Joshua L. Proctor외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 21.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 27인용 수 71

한 줄 요약

이 논문은 외부 입력과 피드백 제어를 포함하는 비선형 동적 시스템을 위한 스파arsity 기반 식별 방법인 SINDYc를 소개한다. SINDY 프레임워크를 확장하여 입력 의존 항을 스파arsity 회귀를 통해 포함시켰으며, 제어 입력이 있는 데이터로부터 정확한 governing 방정식을 식별한다. 로렌츠 및 로트카-볼테라 시스템에서 노이즈 없이 기계 정밀도 수준의 복원을 달성한다.

ABSTRACT

Identifying governing equations from data is a critical step in the modeling and control of complex dynamical systems. Here, we investigate the data-driven identification of nonlinear dynamical systems with inputs and forcing using regression methods, including sparse regression. Specifically, we generalize the sparse identification of nonlinear dynamics (SINDY) algorithm to include external inputs and feedback control. This method is demonstrated on examples including the Lotka-Volterra predator--prey model and the Lorenz system with forcing and control. We also connect the present algorithm with the dynamic mode decomposition (DMD) and Koopman operator theory to provide a broader context.

연구 동기 및 목표

• 외부 입력과 제어 신호를 포함하는 비선형 동적 시스템을 식별하기 위해 SINDY 알고리즘을 확장하는 것.
• 데이터 기반 모델링에서 제어 입력의 영향을 내재된 시스템 역학에서 분리하는 것.
• DMD, DMDc, 그리고 쿠페르만 이론을 일반화하는 비선형 시스템에 대한 입력이 있는 회귀 기반 프레임워크를 개발하는 것.
• 학습 중에 관측되지 않은 새로운 제어 입력에 대한 시스템 반응을 정확하게 예측할 수 있도록 하는 것.
• 고차원, 비선형, 다스케일 시스템에 대한 제어가 있는 시스템 식별을 위한 확장 가능한 스파arsity 회귀 방법을 제공하는 것

제안 방법

• 상태 변수 **x** 와 제어 입력 **u** 의 함수를 포함하도록 SINDY의 후보 비선형 항 라이브러리를 확장하며, x_i * u_j 등의 교차 항을 포함한다.
• 스파arsity와 정확성의 균형을 고려해 시간 도함수 데이터에 가장 잘 맞는 최소한의 비선형 항 조합을 식별하기 위해 스파arsity 회귀(Lasso 유사 최적화)를 사용한다.
• 유한 차분 또는 기타 수치 미분 기법을 사용해 시간 해상도 상태 측정치로부터 d**x**/dt를 추정함으로써 연속 시간 시스템에 적용한다.
• d**x**/dt = **f**( **x**, **u** ) 형태로 제어 입력을 governing 방정식에 통합하며, 여기서 **f** 는 **x** 와 **u** 의 기저 함수의 스파arsity 조합으로 모델링된다.
• 특히 피드백 제어 시나리오에서 내재된 역학과의 혼동을 방지하기 위해 제어 입력에 추가 노이즈 또는 변동을 도입한다.
• SINDYc를 쿠페르만 연산자 이론과 DMDc와 연결하며, 이들이 모두 데이터 기반 시스템 식별의 회귀 기반 특수 사례임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 외부 입력과 피드백 제어가 있는 시스템에 대해 스파arsity 기반 비선형 역학 식별(SINDY)을 확장할 수 있는가?
• RQ2 데이터 기반 모델링에서 제어 입력을 내재된 시스템 역학에서 분리할 수 있는가?
• RQ3 강제력과 상태 피드백 제어가 있는 비선형 시스템의 governing 방정식을 SINDYc가 얼마나 잘 식별하는가?
• RQ4 제어 입력이 존재하지만 忽略된 경우 표준 SINDY와 SINDYc는 어떻게 비교되는가?
• RQ5 학습 중에 사용되지 않은 새로운 제어 입력으로 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 노이즈 없이 외부 강제력이 있는 로트카-볼테라 포식자-피식자 시스템에서 SINDYc는 기계 정밀도 수준의 정확도로 진짜 governing 방정식을 정확히 식별한다.
• 외부 강제력 g(u) = u³ 이 있는 로렌츠 시스템에서 SINDYc는 비선형 입력 항을 정확히 복원하고 고정밀도로 시스템 행동을 예측한다.
• 피드백 제어 시나리오(예: u(t) = 26 - x(t) + d(t))에서 SINDYc는 제어 법칙과 동역학을 정확히 식별하지만, 표준 SINDY는 혼동 효과로 인해 실패한다.
• 20 단위 시간 동안 제어된 데이터로 학습한 후, SINDYc는 학습 중에 나타나지 않은 새로운 주기적 강제력 u(t) = 50 sin(10t)에 대한 시스템 반응을 정확히 예측한다.
• 제어 입력에 추가된 백색 노이즈를 통해 제어 효과와 내재된 역학을 효과적으로 분리할 수 있으며, 이는 모델 식별 가능성 향상에 기여한다.
• 제어가 있는 로렌츠 시스템에서 SINDYc는 기계 정밀도 수준의 파라미터 복원을 달성하여 현실적인 데이터 조건 하에서도 강건성과 정확성을 입증한다.