[논문 리뷰] Spectra Originated from Fredholm Theory and Browder's Theorem

Mohamed Amouch, Mohamed Karmouni외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 18.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 의사 B-Weyl 스펙트럼과 일반화된 Drazin 스펙트럼 간의 등식을 증명하여 Browder의 정리에 대한 새로운 특성화를 수립한다. 또한 의사 B-Fredholm 및 의사 B-Weyl 스펙트럼이 가환 Riesz 섭동 하에서 안정됨을 보이며, 일반화된 Kato 분해와 Fredholm 유형의 분해를 통해 Banach 공간 연산자에서 스펙트럼 이론 결과를 확장한다.

ABSTRACT

We give a new characterization of Browders theorem through equality between the pseudo B-Weyl spectrum and the generalized Drazin spectrum. Also, we will give conditions under which pseudo B-Fredholm and pseudo B-Weyl spectrum introduced in [11] and [30] become stable under commuting Riesz perturbations.

연구 동기 및 목표

• 의사 B-Weyl 스펙트럼과 일반화된 Drazin 스펙트럼 간의 등식을 이용하여 Browder 정리의 새로운 스펙트럼 특성화를 제공한다.
• 의사 B-Fredholm 및 의사 B-Weyl 스펙트럼이 가환 Riesz 섭동 하에서 안정되는 조건을 조사한다.
• 일반화된 Kato 분해를 분석하여 Banach 공간에서의 스펙트럼 이론 결과를 확장한다.
• 기존의 Fredholm 및 Weyl 스펙트럼 결과를 의사 B-Fredholm 및 의사 B-Weyl 설정으로 일반화한다.
• 핵심 스펙트럼 집합, 예를 들어 준정규 및 본질적으로 준정규 스펙트럼이 일반화된 Kato 스펙트럼과 일치하는 조건을 수립한다.

제안 방법

• Banach 공간의 불변 분해를 통해 의사 Fredholm, 의사 B-Fredholm, 의사 B-Weyl 연산자를 정의하기 위해 일반화된 Kato 분해(GKD)를 활용한다.
• Fredholm 이론과 Browder의 정리를 적용하여 본질적, Weyl, B-Weyl 스펙트럼과 같은 스펙트럼 집합을 분석한다.
• Riesz 연산자와 가환 섭동의 개념을 활용하여, 특히 준정규 및 Riesz 섭동 하에서의 스펙트럼 안정성을 연구한다.
• 스펙트럼 반경 공식과 연산자 분해를 사용하여, $T$가 의사 B-Fredholm이고 $S$가 준정규 부분에서 항등사상으로 구성된 경우, $TS$가 준정규임을 증명한다.
• Weyl 연산자에 대해 $T_1 + \nu F_1$의 가역성에 관한 기존 결과를 응용하여, 모든 $\nu \neq 0$에 대해 $T + \nu F$가 가역이 되도록 하는 섭동 $F$를 구성한다.
• 직합 분해와 스펙트럼 불변성에 기반하여, $T$와 $F$의 다항식 $q$에 대해 $[T,F]q(T,F)[T,F] = 0$이라는 핵심 항등식을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 의사 B-Weyl 스펙트럼과 일반화된 Drazin 스펙트럼이 언제 일치하는가?
• RQ2 의사 B-Fredholm 및 의사 B-Weyl 스펙트럼이 가환 Riesz 섭동 하에서 안정되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 일반화된 Kato 분해는 Banach 공간에서의 연산자 스펙트럼과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 준정규 스펙트럼과 일반화된 Kato 스펙트럼 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 의사 B-Fredholm 연산자를 가환 연산자로 섭동하여 Fredholm 또는 준정규 연산자가 되게 할 수 있는가?

주요 결과

• 의사 B-Weyl 스펙트럼이 일반화된 Drazin 스펙트럼과 일치하는 것은 오직 Browder의 정리가 해당 연산자에 대해 성립할 때에만 성립한다.
• 일반화된 Kato 스펙트럼 $\sigma_{gK}(T)$는 컴팩트하고 $\sigma(T)$에 포함되며, 준정규 연산자일 경우 공집합일 수 있다.
• 만일 왼쪽 가중치가 있는 우측 이동 연산자 $T$에 대해 $\liminf_{n\to\infty} (w_1\cdots w_n)^{1/n} = 0$이면, 모든 본질적 스펙트럼은 닫힌 원판 $\mathbf{D}(0, r(T))$와 일치하며, 임의의 $T$와 가환하는 준정규 연산자 $Q$에 대해 $\sigma_{gK}(T+Q) = \sigma_{gK}(T)$이다.
• 만일 $T$가 의사 B-Fredholm이면, $T+S$가 Fredholm이고 $TS$가 준정규인 가환 연산자 $S$가 존재한다.
• 만일 $T$가 의사 Fredholm이면, $T+S$가 준정규이고 $TS$가 준정규인 가환 연산자 $S$가 존재한다.
• 의사 B-Weyl 연산자 $T$에 대해, 모든 $\lambda \neq 0$에 대해 $T + \lambda F$가 가역이 되고, $T$와 $F$의 다항식 $q$에 대해 $[T,F]q(T,F)[T,F] = 0$을 만족하는 연산자 $F$가 존재한다.