[논문 리뷰] Spectral interpretations of dynamical degrees and applications

Nguyen-Bac Dang, Charles Favre|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 18.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 프로젝트 구면체 위의 유리 함수의 동적 차수를 고차원 사이클의 b-클래스가 정의하는 바나흐 공간 위의 자연스러운 연산자의 스펙트럼 반경으로 규명한다. 바나흐 공간을 일반화한 Picard-Manin 공간과 히지 색인 정리 및 컴팩트성 결과를 도입함으로써, 조건 $\lambda_1^2 > \lambda_2$ 하에서 반복의 차수 성장이 정확히 제어됨을 보이고, 그 결과 $\mathbb{A}^3$의 자기동형사상의 동적 차수가 대수적 수임을 증명한다.

ABSTRACT

We prove that dynamical degrees of rational self-maps on projective varieties can be interpreted as spectral radii of naturally defined operators on suitable Banach spaces. Generalizing Shokurov's notion of b-divisors, we consider the space of b-classes of higher codimension cycles, and endow this space with various Banach norms. Building on these constructions, we design a natural extension to higher dimensions of the Picard-Manin space introduced by Cantat and Boucksom-Favre-Jonsson in the case of surfaces. We prove a version of the Hodge index theorem, and a surprising compactness result in this Banach space. We use these two theorems to infer a precise control of the sequence of degrees of iterates of a map under the assumption that the square of the first dynamical degree is strictly larger than the second dynamical degree. As a consequence, we obtain that the dynamical degrees of an automorphism of the affine 3-space are all algebraic numbers.

연구 동기 및 목표

• 고차원 사이클의 b-클래스가 정의하는 바나흐 공간 위의 연산자의 스펙트럼 반경으로서 동적 차수를 해석하는 것.
• b-디바리에이터와 바나흐 노름을 이용해 고차원으로 일반화된 피카르-마닌 공간을 구성하는 것.
• 스펙트럼 분석을 위한 바나흐 공간 설정에서 히지 색인 정리와 컴팩트성 결과를 증명하는 것.
• $\lambda_1^2 > \lambda_2$ 조건 하에서 반복의 차수 성장을 제어하는 것.
• $\mathbb{A}^3$의 자기동형사상의 동적 차수가 대수적 수임을 증명하는 것.

제안 방법

• 바나흐 노름 $\|\cdot\|_{\operatorname{BPF}}$를 갖춘 고차원 사이클의 수치적 b-클래스 공간 $\operatorname{N}_{\operatorname{BPF}}^k(\mathcal{X})$를 구성하는 것.
• 무한한 블로우업에 대한 극한 구성으로 바나흐 공간 $\operatorname{N^1_{\Sigma}}(\mathcal{X})$를 도입하여 피카르-마닌 공간을 일반화하는 것.
• $\mathcal{F}_{\Sigma}(\mathcal{X})$ 위의 쌍대성을 정의하고, 이를 통해 이 설정에서 히지 색인 정리를 확립하는 것.
• $\lambda_1^2 > \lambda_2$ 조건 하에서 $\operatorname{N^1_{\Sigma}}(\mathcal{X})$의 단위 구를 컴팩트성으로 증명하는 것.
• 바나흐 공간 위의 유계 연산자 스펙트럼 이론을 사용하여 $f^*$의 작용을 분석하고, 스펙트럼 반경이 $\lambda_1(f)$로 식별하는 것.
• $\mathbb{P}^d$ 위의 분수 이상층에 스펙트럼 분석을 적용하여, 차수 성장과 별도의 가치와 연결하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유리 함수의 동적 차수는 고차원 사이클의 b-클래스가 정의하는 바나흐 공간 위의 연산자의 스펙트럼 반경으로 해석될 수 있는가?
• RQ2 수치적 b-클래스의 바나흐 공간에서 히지 색인 정리와 컴팩트성 결과가 성립하는가?
• RQ3 $\lambda_1^2 > \lambda_2$ 조건이 반복의 차수 점근적 성장을 어떻게 제어하는가?
• RQ4 $\operatorname{N^1_{\Sigma}}(\mathcal{X})$에서의 스펙트럼 갭을 사용하여 동적 차수의 대수성을 증명할 수 있는가?
• RQ5 $\mathbb{A}^3$의 자기동형사상의 동적 차수는 대수적 수인가?

주요 결과

• 동적 차수 $\lambda_1(f)$는 바나흐 공간 $\operatorname{N^1_{\Sigma}}(\mathcal{X})$ 위에서의 풀백 연산자 $f^*$의 스펙트럼 반경과 같다.
• $\mathcal{F}_{\Sigma}(\mathcal{X})$ 공간에서 히지 색인 정리가 성립하여, b-디바리에이터에 대한 잘 정의된 교차 이론이 보장된다.
• $\lambda_1(f)^2 > \lambda_2(f)$ 조건 하에서 $\operatorname{N^1_{\Sigma}}(\mathcal{X})$의 단위 구는 상대적으로 컴팩트하여 스펙트럼 분석이 가능해진다.
• $\lambda_1^2 > \lambda_2$ 조건 하에서 차수 수열 $\deg_{1,{\omega}}(f^n)$은 어떤 $C > 0$ 에 대해 $\deg_{1,{\omega}}(f^n) = C \lambda_1(f)^n + O(\lambda_1(f)^{n/2})$ 를 만족한다.
• 스펙트럼 분해를 통해 정의된 함수 $L_\star$는 $v_\star(\phi \circ f) = \lambda_1(f) v_\star(\phi)$ 를 만족하는 값매김이며, 모든 다항식 $\phi$ 에 대해 스펙트럼 행동을 확인한다.
• 결과적으로, $\mathbb{A}^3$의 자기동형사상의 동적 차수는 대수적 수이다.