[논문 리뷰] Spectral Theory of Unsigned and Signed Graphs. Applications to Graph Clustering: a Survey

Jean Gallier|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 18.

Graph theory and applications참고 문헌 23인용 수 42

한 줄 요약

이 종합적 서베이는 무기호 및 부호 있는 그래프에 대한 스펙트럴 그래프 이론을 포괄적으로 다루며, 그래프 클러스터링을 위한 정규화 및 비율 컷에 초점을 맞춘다. 본서는 절대 가중치를 사용하여 부호 있는 라플라시안 행렬을 도입함으로써 K-웨이 정규화 클러스터링을 부호 있는 그래프로 일반화하는 새로운 방법을 제안한다. 이는 사영 공간과 그라스만이안의 이론적 기초를 바탕으로 하며, 해의 비교를 위해 리만 기하학과의 연결을 수립한다.

ABSTRACT

This is a survey of the method of graph cuts and its applications to graph clustering of weighted unsigned and signed graphs. I provide a fairly thorough treatment of the method of normalized graph cuts, a deeply original method due to Shi and Malik, including complete proofs. The main thrust of this paper is the method of normalized cuts. I give a detailed account for K = 2 clusters, and also for K > 2 clusters, based on the work of Yu and Shi. I also show how both graph drawing and normalized cut K-clustering can be easily generalized to handle signed graphs, which are weighted graphs in which the weight matrix W may have negative coefficients. Intuitively, negative coefficients indicate distance or dissimilarity. The solution is to replace the degree matrix by the matrix in which absolute values of the weights are used, and to replace the Laplacian by the Laplacian with the new degree matrix of absolute values. As far as I know, the generalization of K-way normalized clustering to signed graphs is new. Finally, I show how the method of ratio cuts, in which a cut is normalized by the size of the cluster rather than its volume, is just a special case of normalized cuts.

연구 동기 및 목표

• 정규화 및 비율 컷을 위한 그래프 클러스터링의 철저하고 자립적인 기초를 제공하며, 완전한 증명과 기하적 직관을 포함한다.
• 간선 가중치가 음수일 수 있는 부호 있는 그래프로 스펙트럴 클러스터링 방법을 확장하기 위해 절대 가중치를 사용한 부호 있는 라플라시안 행렬을 도입한다.
• 사영 공간과 그라스만이안 다양체에서 클러스터링 해의 기하적 해석을 명확히 하며, 공식적인 리만 거리 척도를 제공한다.
• 클러스터링에서 행렬이 유효한 그래프 분할을 나타내기 위한 필요 및 충분 조건을 확립한다.
• 정규화 컷과 비율 컷의 개념을 통합하여, 행렬 표현을 통해 비율 컷이 정규화 컷의 특수한 경우임을 보여준다.

제안 방법

• 무기호 그래프에 대해 그래프 라플라시안 $ L = D - W $ 를 사용하고, 절대 간선 가중치를 사용하는 $ \overline{D} $ 를 통해 이를 부호 있는 그래프로 일반화한다: $ \overline{L} = \overline{D} - W $.
• 레이일리 몫과 코런트-파이셔 정리를 적용하여 정규화 컷 최적화를 위한 스펙트럴 리프레시를 유도한다.
• K-웨이 클러스터링 해를 그라스만이안 $ G(K,N) $ 의 원소로 모델링하고, 2-웨이 해를 $ (\mathbb{RP}^{N-1})^K $ 의 튜플로 표현함으로써 기하학적 비교를 가능하게 한다.
• 두 가지 리만 거리 척도를 도입한다: 하나는 실수 사영 공간의 곱에 정의되고, 다른 하나는 그라스만이안에 정의되며, 해의 유사도 평가에 사용된다.
• 비율 컷을 정규화 컷의 특수한 경우로 재구성하기 위해 대칭 정규화 라플라시안 $ L_{\mathrm{sym}} $ 를 비정규화된 $ L $ 으로 대체한다.
• 에너지 최소화와 고유벡터 임bedding을 활용하여 그래프 그림을 그린다. 라플라시안을 사용해 노드를 $ \mathbb{R}^d $ 에 배치한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스펙트럴 리프레시를 사용하여 K > 2 클러스터에 대해 정규화 컷 클러스터링을 엄밀하게 유도하고 일반화할 수 있는가?
• RQ2 K-웨이 그래프 클러스터링에서 클러스터링 해를 표현하고 비교하기 위한 올바른 기하학적 프레임워크는 무엇인가?
• RQ3 정규화 컷 이론을 음수 간선 가중치(불만족스러움을 나타냄)를 가진 부호 있는 그래프로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ4 비율 컷과 정규화 컷 사이의 관계는 무엇이며, 비율 컷을 정규화 컷 프레임워크에 통합할 수 있는가?
• RQ5 그래프 클러스터링에서 행렬이 유효한 정점 분할을 나타내기 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 부호 있는 라플라시안 $ \overline{L} = \overline{D} - W $ 는 항상 준정규이며, 비균형 부호 있는 그래프에서는 양의 정규일 수 있다. 이는 스펙트럴 분석을 가능하게 한다.
• 이 논문은 부호 있는 그래프에 대한 K-웨이 정규화 클러스터링을 처음으로 일반화하였으며, 부호 있는 라플라시안과 그라스만이안 기반 해 표현을 사용한다.
• 이완된 K-웨이 클러스터링 문제의 해는 자연스럽게 $ \mathbb{R}^N $ 의 벡터가 아니라 그라스만이안 $ G(K,N) $ 의 원소로 표현되며, 이는 기하학적으로 일관된 프레임워크를 제공한다.
• 2-웨이 정규화 컷 해는 자연스럽게 $ (\mathbb{RP}^{N-1})^K $ 의 튜플로 모델링되며, 해의 유사도를 측정하기 위한 잘 정의된 리만 거리 척도를 갖는다.
• 비율 컷이 $ L_{\mathrm{sym}} $ 대신 $ L $ 으로 대체됨으로써 정규화 컷의 특수한 경우임을 공식적으로 보여주며, 두 접근 방식을 하나의 스펙트럴 프레임워크로 통합한다.
• 행렬이 유효한 분할을 나타내기 위해서는 그 열이 서로소이고 공백이 아닌 부분집합의 지시 벡터여야 하며, 직교성 및 정규화 조건을 만족해야 한다는 점이 명확히 밝혀졌다.