[논문 리뷰] Splitting schemes for a Lagrange multiplier formulation of FSI with immersed thin-walled structure: stability and convergence analysis

Michele Annese, Miguel A. Fernández외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 09.

Lattice Boltzmann Simulation Studies참고 문헌 53인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 라그랑주 승수 설정을 사용하여 떠 있는 얇은 벽 구조를 가진 유체-구조 상호작용에 대해 반음성 분할 방법을 제안한다. 각 시간 단계에서 연립계를 풀지 않아도 무조건적 안정성과 최적의 일阶 시간 정확도를 달성하여, 연산자 분할과 외삽 기반 속도 예측을 통해 효율적이고 안정적인 시뮬레이션을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The numerical approximation of incompressible fluid-structure interaction problems with Lagrange multiplier is generally based on strongly coupled schemes. This delivers unconditional stability but at the expense of solving a computationally demanding coupled system at each time-step. For the case of the coupling with immersed thin-walled solids, we introduce a class of semi-implicit coupling schemes which avoids strongly coupling without compromising stability and accuracy. A priori energy and error estimates are derived. The theoretical results are illustrated through numerical experiments in an academic benchmark.

연구 동기 및 목표

• 압축성 없는 유체-구조 상호작용을 안정적이고 정확하게 시뮬레이션하는 데 도전하는 것.
• 강한 결합 방법의 계산 부담을 줄이기 위해 반음성 분할 접근법을 도입함으로써 이를 극복하는 것.
• 라그랑주 승수 결합을 사용하는 비일치 메쉬 방법에서 시간에 대한 안정성과 최적 수렴성을 확보하는 것.
• 선형 압축성 없는 FSI의 맥락에서 제안된 방법에 대해 엄밀한 사전 에너지 및 오차 분석을 제공하는 것.
• 학술 기준 문제에 대한 수치 실험을 통해 방법의 성능을 입증하는 것.

제안 방법

• 유체-구조 상호작용 문제를 라그랑주 승수를 사용하여 유체-구조 경계에서 속도 연속성을 강제하는 방식으로 설정한다.
• 유체와 구조 하위문제를 분리하면서도 안정성을 유지하는 시간 분할 전략을 적용한다.
• 유체 하위문제에서 경계 운동을 예측하기 위해 고체 속도의 일阶 및 이阶 외삽을 사용한다.
• 반음성 시간 이산화를 적용하여 유체 속도와 압력을 암시적으로 갱신하고, 고체 속도는 외삽을 통해 예측한다.
• 비일치 메쉬를 사용하여 공간 이산화에 유한요소 방법을 적용하여 유체 영역이 고체 구형과 독립적으로 유지되도록 한다.
• 통합된 약한 설정을 구성하고, 각 시간 단계에서 유체와 구조 하위문제를 순차적으로 푸는 분할 알고리즘을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 강한 결합을 피하면서도 무조건적 안정성을 유지하는 라그랑주 승수를 사용한 떠 있는 FSI에 대해 반음성 분할 방법을 설계할 수 있는가?
• RQ2 안정성을 해치지 않으면서 최적의 일阶 정확도를 달성하기 위해 시간 이산화 및 외삽의 최적 순서는 무엇인가?
• RQ3 비일치 메쉬 방법의 맥락에서 제안된 방법이 통합 또는 다른 분할 방법과 비교해 안정성과 수렴성 면에서 어떻게 성능을 내는가?
• RQ4 외삽 순서의 선택이 방법의 정확도와 안정성에 미치는 영향은 어느 정도인가?
• RQ5 선형 압축성 없는 FSI의 맥락에서 이러한 분할 방법 유형에 대해 사전 에너지 및 오차 추정을 엄밀히 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 일阶 외삽을 사용한 제안된 분할 방법은 사전 에너지 및 오차 추정을 통해 무조건적 안정성과 최적의 일阶 시간 수렴성을 확보한다.
• 수치 실험 결과, 시간 간격을 줄일수록 속도, 속도 기울기, 변위의 수렴 속도가 모두 일阶로 수렴하는 것으로 확인된다.
• 충분히 작은 시간 간격에서는 이阶 외삽을 사용한 분할 방법의 오차가 통합 방법의 오차에 가까워지며, 이는 정확도를 검증한다.
• 일阶 외삽을 사용할 경우 큰 시간 간격에서도 방법이 안정적이고 정확하며, τ가 감소함에 따라 오차가 단조롭게 감소함을 확인한다.
• 수치 실험에서 관측된 수렴 속도(예: 속도와 변위의 경우 약 1.0, 속도 기울기의 경우 약 1.0–1.02)는 이론적 예측과 일치한다.
• 외삽 순서의 영향은 비교적 거친 시간 간격에서 가장 뚜렷하게 나타나며, 이阶 외삽은 일阶 외삽보다 유의미하게 더 높은 정확도를 제공한다.