[논문 리뷰] Stability of group relations under small Hilbert-Schmidt perturbations

Don Hadwin, Tatiana Shulman|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 22.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 22인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 트레이스 초수체와 캐릭터의 근사 성질을 사용하여, 비자명한 중심을 가진 모든 1관계군에 대해 정규화된 힐버트-스미드 노름 하에서 $II_1$-팩터 안정성을 확립한다. 또한 애매한 군의 경우, 유한차원 추적의 점별 극한을 통한 추적 근사에 의해 행렬 안정성을 특성화하며, 이는 이산 헤이젠베르그 군 $\mathbb{H}_3$와 거의 아벨 군에 대한 안정성을 증명하는 데 쓰이며, 비가역 군의 경우 캐릭터의 강성은 안정성에 필요한 근사 성질을 보장함을 보여준다.

ABSTRACT

If matrices almost satisfying a group relation are close to matrices exactly satisfying the relation, then we say that a group is matricially stable. Here "almost" and "close" are in terms of the Hilbert-Schmidt norm. Using tracial 2-norm on $II_1$-factors we similarly define $II_1$-factor stability for groups. Our main result is that all 1-relator groups with non-trivial center are $II_{1}$-factor stable. Many of them are also matricially stable and RFD. For amenable groups we give a complete characterization of matricial stability in terms of the following approximation property for characters: each character must be a pointwise limit of traces of finite-dimensional representations. This allows us to prove matricial stability for the discrete Heisenberg group $\mathbb H_3$ and for all virtually abelian groups. For non-amenable groups the same approximation property is a necessary condition for being matricially stable. We study this approximation property and show that RF groups with character rigidity have it.

연구 동기 및 목표

• 작은 힐버트-스미드 노름에 의한 군 안정성의 정의와 분석을 $II_1$-팩터에서의 트레이스 노름과 유한차원 표현을 통해 수행한다.
• 애매한 군의 행렬 안정성을, 유한차원 표현의 추적에 의한 캐릭터 근사에 관해 특성화한다.
• 특히 비가역 군의 광범위한 클래스, 특히 비자명한 중심을 가진 1관계군에 대해 $II_1$-팩터 안정성을 확립한다.
• 행렬 안정성에 필요한 근사 성질과 캐릭터 강성 사이의 관계를 조사한다.
• 특정 형태의 군에 대해 $C^*$-대수의 잔여 유한차원성(RFD)을 증명하여 표현 이론과 안정성 간의 연결 고리를 마련한다.

제안 방법

• 트레이스 초수체를 사용하여, 유한관계군을 초월해 행렬 안정성과 $II_1$-팩터 안정성을 일반화한다.
• 정규화된 힐버트-스미드 노름을 사용하여 군 관계의 거의 해와 정확한 해 사이의 가까움을 측정한다.
• 각 캐릭터가 유한차원 표현의 추적의 점별 극한임을 보여주는 근사 성질을, 행렬 안정성의 핵심 기준으로 활용한다.
• 유한차원 절단에서 프로젝션의 SOT 극한에 관한 보조정리 8을 활용하여, 특정 군 표현의 $C^*$-대수의 RFD를 증명한다.
• 유니터리 스케일링에 의해 유도되는 동형사상들을 통해 안정성 문제를 프로젝션 관계의 보편 $C^*$-대수로 환원한다.
• 유니터리 코남과 분해 기법을 사용하여 군 관계를 만족하는 편향된 유니터리 튜플을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비자명한 중심을 가진 1관계군 중에서 정규화된 힐버트-스미드 노름 하에서 $II_1$-팩터 안정성을 갖는 것은 무엇인가?
• RQ2 애매한 군의 경우, 행렬 안정성이 유한차원 표현의 추적에 의한 캐릭터 근사와 동치가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 동일한 노름 하에서 비가역 군의 행렬 안정성에 필요한 충분한 조건은 무엇인가?
• RQ4 캐릭터 강성을 가진 잔여 유한군은 행렬 안정성에 필요한 추적 근사 성질을 만족하는가?
• RQ5 $\langle x,y,z \mid x^2 = y^3, y^5 = z^7 \rangle$ 형태의 군에 대해 $C^*$-대수의 잔여 유한차원성은 성립하는가?

주요 결과

• 모든 비자명한 중심을 가진 1관계군은 정리 10에 의해 $II_1$-팩터 안정성을 갖는다.
• 이산 헤이젠베르그 군 $\mathbb{H}_3$는 정리 6에 의해 행렬 안정성을 갖는다.
• 모든 거의 아벨 군은 정리 5에 의해 행렬 안정성을 갖는다.
• 애매한 군의 경우, 행렬 안정성은 모든 캐릭터가 유한차원 표현의 추적의 점별 극한임과 동치이며, 정리 4에 의해 기술된다.
• 잔여 유한군이 캐릭터 강성을 가진다면, 추적 근사 성질을 만족함을 코로나리 1에 의해 보여준다.
• $\langle x,y,z \mid x^2 = y^3, y^5 = z^7 \rangle$ 형태의 군에 대해 $C^*$-대수는 정리 11에 의해 잔여 유한차원성을 갖는다.