[논문 리뷰] Stabilizability and Norm-Optimal Control Design subject to Sparsity Constraints

Şerban Sabău, Nuno C. Martins|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 05.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 22인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 안정성 제약 조건이 있는 정확한 모델 매칭 문제로 문제를 재구성함으로써, 안정화 가능하고 희소성 제약 조건을 갖는 선형 시간 불변(LTI) 제어기의 존재에 대한 필수 및 필요조건을 확립한다. 기존의 초기 안정된 안정화 제어기가 필요로 하지 않는 볼록 유오라 유사 매개변수화를 도입하여, 볼록 최적화를 통해 희소성 제약 조건 하에서 노름 최적 제어 설계를 가능하게 하며, 이는 이전 연구에서의 핵심적 격차를 해소한다.

ABSTRACT

Consider that a linear time-invariant (LTI) plant is given and that we wish to design a stabilizing controller for it. Admissible controllers are LTI and must comply with a pre-selected sparsity pattern. The sparsity pattern is assumed to be quadratically invariant (QI) with respect to the plant, which, from prior results, guarantees that there is a convex parametrization of all admissible stabilizing controllers provided that an initial admissible stable stabilizing controller is provided. This paper addresses the previously unsolved problem of determining necessary and sufficient conditions for the existence of an admissible stabilizing controller. The main idea is to cast the existence of such a controller as the feasibility of an exact model-matching problem with stability restrictions, which can be tackled using existing methods. Furthermore, we show that, when it exists, the solution of the model-matching problem can be used to compute an admissible stabilizing controller. This method also leads to a convex parametrization that may be viewed as an extension of Youla's classical approach so as to incorporate sparsity constraints. Applications of this parametrization on the design of norm-optimal controllers via convex methods are also explored. An illustrative example is provided, and a special case is discussed for which the exact model matching problem has a unique and easily computable solution.

연구 동기 및 목표

• 주어진 이차적으로 불변하는 희소성 제약 조건 하에서 안정화 가능한 LTI 제어기가 존재하는지 여부를 판단하는 열린 문제를 해결한다.
• 해당 제어기가 존재할 경우, 초기 안정된 안정화 제어기의 지식이 없이도 이를 계산할 수 있는 방법을 개발한다.
• 클래식한 유오라 매개변수화를 볼록 프레임워크를 통해 희소성 제약 조건을 통합함으로써 확장한다.
• 희소성 제약 조건 하에서 볼록 최적화 기법을 사용하여 노름 최적 제어기 설계를 가능하게 한다.
• 비강한 안정화 가능성이 없는 시스템에서도 유효한 새로운 볼록 매개변수화를 통해 모든 허용 가능한 안정화 제어기를 완전히 특성화한다.

제안 방법

• 희소성 제약 조건이 있는 안정화 제어기의 존재를 안정성 제약 조건이 있는 정확한 모델 매칭 문제의 가용성으로 재구성한다.
• 식별된 요소에 대한 추가 제약 조건을 포함한 식별된 식별 인수 분해(DCF)를 사용하여 희소성 및 안정성 요구 조건을 표현한다.
• 전달 함수의 체 위에서 동차 선형 방정식계로 문제를 변환하여, 유오라 유사 프레임워크 내의 Q-매개변수를 매개변수화한다.
• 상태공간 실현을 통한 DCF 요소의 실현을 통해 안정화 제어기를 구성하며, 스펙트럼 할당을 통해 변환 행렬의 유일성과 안정성을 보장한다.
• 기존의 정확한 모델 매칭에 안정성 제약 조건을 적용하는 알고리즘을 활용하여 제어기를 계산하고, 그 희소성 및 안정화 성질을 검증한다.
• Q-매개변수에 선형 제약 조건을 도입하여, 초기 제어기가 존재하지 않거나 안정적이지 않은 경우에도 모든 안정화 가능한 희소성 제약 조건이 있는 제어기를 위한 볼록 매개변수화를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 이차적으로 불변하는 희소성 제약 조건 하에서 안정화 가능한 LTI 제어기가 존재하는 데 필요한 필수 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ2 초기 안정된 안정화 제어기가 필요로 하지 않고도 안정화 가능한 희소성 제약 조건이 있는 제어기를 계산할 수 있는가?
• RQ3 초기 제어기가 알려져 있거나 안정적이지 않은 경우, 이러한 안정화 제어기의 볼록 매개변수화를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 제안된 프레임워크를 사용하여 희소성 제약 조건 하에서 볼록 최적화를 통해 노름 최적 제어기를 설계할 수 있는가?
• RQ5 제약 조건이 있는 요소를 갖는 이중 코프라임 인수 분해의 존재성과 희소성 제약 조건 하에서의 시스템 안정화 가능성 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 희소성 제약 조건이 있는 안정화 제어기의 존재는 안정성 제약 조건이 있는 정확한 모델 매칭 문제의 가용성과 동치이다.
• 상태공간 실현을 통한 DCF 요소의 실현을 통해 안정화 제어기를 계산할 수 있으며, 변환 행렬의 유일성은 인수 분해의 타당성을 보장한다.
• 제안된 유오라 유사 매개변수화는 볼록이며, 초기 안정된 안정화 제어기가 필요로 하지 않아 비강한 안정화 가능성이 없는 시스템에도 적용 가능하다.
• 문제를 제약 조건이 있는 Q-매개변수 공간 상의 볼록 프로그램으로 재구성함으로써, 희소성 제약 조건 하에서 노름 최적 제어기 설계가 가능해진다.
• 특수한 경우에 정확한 모델 매칭 문제는 유일하고 쉽게 계산 가능한 해를 갖으며, 제어기 합성 과정을 단순화한다.
• 수치 예제를 통해 안정화 가능한 희소 제어기의 구성과 그 볼록 매개변수화 유도를 검증하였다.