[논문 리뷰] Stable Phaseless Sampling and Reconstruction of Real-Valued Signals with Finite Rate of Innovations

Cheng Cheng, Qiyu Sun|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 17.

Photoacoustic and Ultrasonic Imaging인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한 혁신률(FRI)을 가진 실수 신호의 위상 없는 샘플링 및 재구성에 대해 안정적이고 선형 복잡도의 알고리즘을 제안한다. 이는 이산 집합에서의 크기 측정값을 사용한다. 위상 복원 가능성은 신호의 혁신 구조의 그래프 연결성과 동치임을 입증하고, 동일한 크기 측정값을 가진 모든 신호를 연결 성분 분해를 통해 완전히 특성화한다.

ABSTRACT

A spatial signal is defined by its evaluations on the whole domain. In this paper, we consider stable reconstruction of real-valued signals with finite rate of innovations (FRI), up to a sign, from their magnitude measurements on the whole domain or their phaseless samples on a discrete subset. FRI signals appear in many engineering applications such as magnetic resonance spectrum, ultra wide-band communication and electrocardiogram. For an FRI signal, we introduce an undirected graph to describe its topological structure. We establish the equivalence between the graph connectivity and phase retrievability of FRI signals, and we apply the graph connected component decomposition to find all FRI signals that have the same magnitude measurements as the original FRI signal has. We construct discrete sets with finite density explicitly so that magnitude measurements of FRI signals on the whole domain are determined by their samples taken on those discrete subsets. In this paper, we also propose a stable algorithm with linear complexity to reconstruct FRI signals from their phaseless samples on the above phaseless sampling set. The proposed algorithm is demonstrated theoretically and numerically to provide a suboptimal approximation to the original FRI signal in magnitude measurements.

연구 동기 및 목표

• 유한 혁신률(FRI)을 가진 실수 신호를 크기 측정값 또는 위상 없는 샘플링으로부터 안정적으로 재구성하는 문제를 다루기.
• FRI 신호가 크기 정보로부터 전역 부호를 제외하고 유일하게 복원 가능한 조건을 규명하기.
• 유한 밀도를 가진 이산 집합에서의 위상 없는 샘플링으로부터 FRI 신호를 재구성하기 위한 실용적이고 계산 효율적인 알고리즘 개발하기.
• 모든 FRI 신호에 대해 위상 복원 가능성을 유지하기 위한 샘플링 밀도의 이론적 한계 설정하기.

제안 방법

• 혁신 위치와 기저 함수에 기반해 FRI 신호의 위상적 구조를 모델링하기 위해 무방향 그래프 표현 ${\mathcal{G}}_f$ 를 도입한다.
• 위상 복원 가능성(즉, ${\mathcal{M}}_f = \{\pm f\}$)이 성립함과 동시에 ${\mathcal{G}}_f$ 가 연결되어 있을 때에만 성립함을 증명한다.
• ${\mathcal{G}}_f$ 의 연결 성분 분해를 이용해 ${\mathcal{M}}_f$ 에 속하는 모든 신호를 명시적으로 구성함으로써, 이들이 이격된 섬에 지원되는 신호 성분들의 부호 조합임을 보여준다.
• 전체 영역에서의 크기 측정값이 유한 밀도를 가진 이산 위상 없는 샘플링 집합에서 유지되도록 하는 샘플링 집합을 구성한다.
• 노이즈가 있는 위상 없는 샘플링으로부터 FRI 신호를 재구성하기 위한 안정적이고 선형 복잡도의 방법인 MAPS 알고리즘을 제안한다.
• 최대 재구성 오차가 노이즈 수준과 거의 선형적으로 증가함을 보여주는 이론적 안정성 한계를 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실수 FRI 신호가 크기 측정값으로부터 전역 부호를 제외하고 유일하게 복원 가능한 조건은 무엇인가?
• RQ2 주어진 FRI 신호와 동일한 크기 측정값을 가진 모든 신호를 체계적으로 특성화할 수 있는가?
• RQ3 모든 FRI 신호에 대해 위상 복원 가능성을 유지하기 위해 필요한 위상 없는 샘플링 집합의 최소 샘플링 밀도는 얼마인가?
• RQ4 노이즈가 있는 위상 없는 샘플링으로부터 오차 성장률을 통제할 수 있는 안정적이고 저복잡도의 알고리즘이 존재하는가?
• RQ5 FRI 신호의 위상적 구조(그에 상응하는 그래프를 통해)와 위상 복원 가능성 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• FRI 신호의 위상 복원 가능성은 그에 상응하는 무방향 그래프 ${\mathcal{G}}_f$ 의 연결성과 동치이다.
• 신호 $f$ 와 동일한 크기 측정값을 가진 모든 신호는 정확히 그 연결 성분 신호들의 부호 조합이며, 즉 ${\mathcal{M}}_f = \left\{ \sum_{i \in I} \delta_i f_i : \delta_i \in \{-1,1\} \right\}$ 이다.
• 제안된 MAPS 알고리즘은 선형 계산 복잡도를 가지며 안정적인 재구성을 달성하며, 최대 재구성 오차 $E_\eta$ 는 노이즈 수준 $\eta$ 와 거의 선형적으로 증가한다.
• 수치 결과는 노이즈 수준 $\eta = 0.04$ 에서 최대 오차 $E_\eta = 0.1878$, $\eta = 0.001$ 에서 $E_\eta = 0.0025$ 임을 확인하여 거의 선형적 의존성을 보여준다.
• 위상 없는 샘플링 집합 $\Gamma$ 의 상한 밀도는 $D_+(\Gamma) \geq D_+(\Lambda)$ 를 만족해야 하며, 여기서 $D_+(\Lambda)$ 는 신호의 혁신률이다.
• 기저 함수가 서로 겹치지 않는 지원을 가질 경우, 혁신률과 동일한 밀도를 가진 샘플링 집합이 가능하므로 샘플링 밀도의 하한은 날카로운 경계이다.