[논문 리뷰] Stable Spin Maps, Gromov-Witten Invariants, and Quantum Cohomology

Tyler J. Jarvis, Takashi Kimura외 1명|2000. 12. 20.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 안정적인 r-스핀 매핑을 도입하여, 다양체 V로의 안정적인 매핑과 소스 곡선 위의 r-스핀 구조를 통합한 새로운 모듈리 공간을 제안하며, 이것이 델리그레-무프 스택임을 증명한다. 이 모듈리 공간에 가상 기본류를 정의함으로써, Gromov-Witten 이론의 CohFT와 r-스핀 CohFT의 텐서곱과 동형인 코homological field theory(CohFT)를 유도한다. 이는 V의 r-스핀 양자 코hom로지의 Frobenius 다양체 기하학이 V의 양자 코hom로지와 A_{r-1} 특이점 Frobenius 다양체의 텐서곱임을 의미한다.

ABSTRACT

We introduce the stack of r-spin maps. These are stable maps into a variety V from n-pointed algebraic curves of genus g, with the additional data of an r-spin structure on the curve. We prove that this stack is a Deligne-Mumford stack, and we define analogs of the Gromov-Witten classes associated to these spaces. We show that these classes yield a cohomological field theory (CohFT) that is the tensor product of the CohFT associated to the usual Gromov-Witten invariants of V and the r-spin CohFT. When r=2, our construction gives the usual Gromov-Witten invariants of V. Restricting to genus zero, we obtain the notion of an r-spin quantum cohomology of V, whose Frobenius structure is isomorphic to the tensor product of the Frobenius manifolds corresponding to the quantum cohomology of V and the r-th Gelfand-Dickey hierarchy (or, equivalently, the A_{r-1} singularity). We also prove a generalization of the descent property which, in particular, explains the appearance of the psi-classes in the definition of gravitational descendants. Finally, we compute the small phase space potential function when r=3 and V=CP^1.

연구 동기 및 목표

• 프로젝티브 다양체 V로의 안정적인 r-스핀 매핑의 모듈리 공간을 구축함으로써, 안정적인 매핑과 r-스핀 곡선을 일반화한다.
• 이 모듈리 공간 위에 가상 기본류를 정의하여, 이것이 델리그레-무프 스택임을 보장하고 CohFT를 지지함을 보장한다.
• 유도된 CohFT가 V의 Gromov-Witten CohFT와 r-스핀 CohFT의 텐서곱과 동형임을 보인다.
• V의 r-스핀 양자 코호몰로지를 Frobenius 다양체로 정의하며, 이는 V의 양자 코호몰로지와 A_{r-1} 특이점 Frobenius 다양체의 텐서곱과 동형임을 보인다.
• r=3 및 V=ℙ¹일 때 소상태 위상함수를 계산하여, correlator에 대한 명시적인 재귀 관계를 제공한다.

제안 방법

• 안정적인 r-스핀 매핑의 스택 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^{1/r}(V)$를 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}(V)$의 분지 덮개로 구성함으로써, r-스핀 구조와 V로의 안정적인 매핑을 매개하는 곡선을 파라미터화한다.
• Gromov-Witten 이론에서의 가상 기본류와 유사한 방식으로 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^{1/r}(V)$ 위에 가상 클래스 $\tilde{c}^{1/r}$을 정의한다.
• 평가 사상에 의한 $\tilde{c}^{1/r}$의 투영이 V의 코homology 클래스의 역상에 의해 CohFT를 유도함을 보인다.
• CohFT의 텐서곱 성질을 이용하여, 유도된 이론이 V의 Gromov-Witten CohFT와 r-스핀 CohFT의 곱과 동형임을 보인다.
• WDVV 방정식과 Divisor Axiom을 사용하여, 특히 종수 1 이상의 경우에 대해 correlator에 대한 재귀 관계를 유도한다.
• r=3 및 $V=\mathbb{P}^1$일 때 소상태 위상함수를 계산하여, $\beta=1$ 및 $\beta\geq2$ 경우의 correlator에 대한 명시적인 재귀 공식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 하면 소스 곡선 위의 r-스핀 구조를 포함하는 다양체 V로의 안정적인 매핑의 모듈리 공간을 구성할 수 있는가?
• RQ2 이 새로운 모듈리 공간 위의 가상 기본류는 무엇이며, 그것이 잘 정의된 CohFT를 유도하는가?
• RQ3 유도된 CohFT가 V의 Gromov-Witten CohFT와 r-스핀 CohFT의 텐서곱과 동형인가?
• RQ4 V의 r-스핀 양자 코호몰로지의 구조는 무엇이며, 알려진 Frobenius 다양체와의 관계는 어떠한가?
• RQ5 특히 r=3 및 $V=\mathbb{P}^1$일 때, 이 이론의 correlator에 대해 명시적인 재귀 관계를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 모듈리 공간 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^{1/r}(V)$는 델리그레-무프 스택이면서 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}(V)$의 분지 덮개이며, 안정적인 매핑과 r-스핀 곡선을 일반화한다.
• 가상 클래스 $\tilde{c}^{1/r}$은 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^{1/r}(V)$ 위에 CohFT를 정의하며, 이는 V의 Gromov-Witten CohFT와 r-스핀 CohFT의 텐서곱과 동형이다.
• 종수 0일 때, V의 r-스핀 양자 코호몰로지는 V의 양자 코호몰로지와 $A_{r-1}$ 특이점 Frobenius 다양체의 텐서곱과 동형이다.
• r=3 및 $V=\mathbb{P}^1$일 때 소상태 위상함수를 계산하여, $n\geq3$인 모든 n-점 correlator에 대해 명시적인 재귀 관계를 도출하였다. 이는 $\beta=1$ 및 $\beta\geq2$ 경우를 포함한다.
• 특히 $\beta=1$일 때, correlator는 $\langle\tau_{0,1}^{n_1}\tau_{1,1}^{2n_1+1}\rangle_1 = \frac{n_1!}{3^{n_1}}\langle\tau_{1,0}^2\tau_{1,1}\rangle_1$을 만족하며, $\langle\tau_{1,0}^2\tau_{1,1}\rangle_1 = 1$이므로 $\beta=1$ 섹터가 완전히 결정된다.
• 또한 $\beta\geq2$일 때, $\beta'$, $\beta''$, $n_1'$, $n_1''$을 포함하는 복잡한 재귀 관계가 불안정 범위 내의 모든 n-점 correlator를 완전히 결정하며, 유일하게 비영인 1-점 및 2-점 correlator는 $\langle\tau_{1,1}\rangle_1 = \langle\tau_{1,0}\tau_{1,1}\rangle_1 = 1$이다.