[논문 리뷰] Steps towards a classification of $C^r$-generic dynamics close to homoclinic points

Nicolas Gourmelon|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 07.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 3인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 동차선형 접선과 이형성 사이클 주변의 역학에 대한 $C^r$-일반적인 분류 프레임워크를 제안하며, 체계가 체적 초하이퍼볼릭이 아닐 때에만 무한히 많은 소스/싱크가 나타나도록 보장한다. 이러한 분기 근처에서 실현 가능한 리아푸노프 지수 벡터의 집합은 볼록 다면체로 특징지어지며, 이는 $C^1$-결과를 $C^r$ 및 $C^{1+eta}$ 위상으로 확장하고, 투라에프의 동차선형 접선에 대한 추측을 확인한다.

ABSTRACT

We present here the first part of a program for a classification of the generic dynamics close to homoclinic and heteroclinic points, in the $C^r$ topologies, $r\geq 1$. This paper only contains announcements and a few sketches of proofs; a forthcoming series of papers will present the proofs in details. The two prototypical examples of non-hyperbolic dynamics are homoclinic tangencies and heterodimensional cycles. Palis conjectured that they actually characterize densely non-hyperbolic dynamics. It is therefore important to understand what happens close to those bifurcations. We generalize classical results of Newhouse, Palis and Viana, for both tangencies and cycles: close to a homoclinic tangency or to a heterodimensional cycle there is abundance of diffeomorphisms exhibiting infinitely many sinks or sources if and only if the dynamics is not volume-hyperbolic. This proves in particular a conjecture of Turaev for homoclinic tangencies. An important result of Bonatti, Diaz, Pujals states that if a homoclinic class is $C^1$-robustly without dominated splitting, then nearby diffeomorphisms exhibit $C^1$-generically infinitely many sinks or sources. We show that this holds in higher regularities, under the further assumption that non-dominations are obtained through so-called "mechanisms". This includes all the examples of robustly non-dominated homoclinic classes one can build with the tools known up to now. We actually have a $C^r$-equivalent of a recent $C^1$-result of Bochi and Bonatti: we describe precisely the Lyapunov exponents along periodic points that may appear close to a homoclinic tangency or to a homoclinic class. The results of Newhouse, Palis and Viana were proven for the $C^r$ topologies, $r\geq 2$. Our results hold also in the $C^{1+α}$ topologies.

연구 동기 및 목표

• 표준적인 페르투르베이션 도구인 닫힘 및 연결 렘마가 실패하는 $r > 1$ 인 $C^r$-위상으로 랜드마크 $C^1$-일반 역학 결과를 확장하기 위해.
• 비초하이퍼볼릭 역학의 연구를 통합하기 위해 동차선형 접선과 이형성 사이클을 특징적인 분기로 집중적으로 다루기 위해.
• 이러한 분기 근처에서 $C^r$-위상에서 주기 측도에 대한 가능한 리아푸노프 지수 벡터 집합을 특징짓기 위해.
• 체적 초하이퍼볼릭성이 없는 경우 소스/싱크의 풍부함이 나타남을 증명하여 뉴하우스, 팔리스, 비아나의 결과를 더 높은 정규성으로 일반화하기 위해.
• 보치와 보나티의 $C^1$-결과를 동차선형 접선 근처에서 리아푸노프 지수 실현 가능성을 다루는 $C^r$-등가 결과를 수립하기 위해.

제안 방법

• 주기 측도에 대한 리아푸노프 맵 $\sigma: \{0,\dots,d\} \to \mathbb{R}$ 의 형식을 도입하며, $\sigma(0) = 0$ 이고 $\sigma(d) = \text{tr}(Df)$ 이다.
• 집합 $\mathcal{G}(\Lambda)$ 는 $\tau \geq \sigma$ 이고 $\sigma$ 와 인덱스 $i \in I$ 에서 일치하는 리아푸노프 맵 $\tau$ 의 볼록 다면체로 정의되며, $I$ 는 동차선형 집합 $\Lambda$ 에서의 지배 분해를 인덱싱한다.
• $C^r$-편미분을 사용하여 $f_n \to f$ 인 미분형사열과 $\Lambda$ 에 대해 하우스도르프 위상에서 수렴하는 지지 집합을 가진 주기 측도 $\mu_n$ 을 구성한다.
• $f$ 의 근방 $\mathcal{U}$ 에서 $C^r$-일반적인 미분형사 $g$ 에 대해, $g|_U$ 의 주기 측도 리아푸노프 맵의 폐포가 $\mathbb{R}^d$ 에서 $\mathcal{G}(\Lambda)$ 의 이웃을 포함함을 보인다.
• 이형성 사이클에 대해 프레임워크를 적응하여 $\mathcal{G}(\Lambda)$ 를 정의한다. 이는 $\tau \geq \lambda\mu + (1-\lambda)\sigma$ 이고 $i \in I$ 에서 $\tau = \lambda\mu + (1-\lambda)\sigma$ 를 만족하는 볼록 맵 $\tau$ 의 집합으로, $\mu, \sigma$ 는 두 안정점에서의 리아푸노프 맵이다.
• $C^{1+\alpha}$-위상에 이론을 적용하기 위해 $C^r$-결과와 유사하게 진술을 적응시키며, 실현 가능한 리아푸노프 지수의 다면체 구조를 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 $C^r$-일반적인 동차선형 접선에서, $C^r$-편미분을 통해 점 渐진적으로 실현 가능한 리아푸노프 지수 벡터의 집합은 무엇인가?
• RQ2 어떤 $C^r$-정규성 조건에서 뉴하우스 현상—동차선형 접선 또는 이형성 사이클 근처에서 무한히 많은 소스/싱크가 나타나는가?
• RQ3 보치와 보나티의 $C^1$-결과—동차선형 접선 근처에서 리아푸노프 지수 실현 가능성에 대해, $r > 1$ 인 $C^r$-위상으로 확장 가능한가?
• RQ4 지름이 큰 이형성 그래프에 대해 일반적인 조합 구조를 가진 $C^r$-위상에서 체적 초하이퍼볼릭성과 뉴하우스 현상 사이의 이분법이 유지되는가?
• RQ5 지수 차이가 1을 초과하는 이형성 사이클에 대해, $C^1$-편미분을 통해 안정적인 사이클을 생성할 수 없는 경우, 이 프레임워크를 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 동차선형 접선 $\Lambda$ 근처에서 실현 가능한 리아푸노프 지수 벡터 집합은 정확히 볼록 다면체 $\mathcal{G}(\Lambda)$ 이며, 이는 $\tau \geq \sigma$ 이고 $\sigma$ 와 $I$ 에서 일치하는 볼록 맵 $\tau$ 로 이루어져 있으며, $I$ 는 $\{0,d\}$ 와 $\Lambda$ 에서의 지배 분해를 인덱싱하는 인덱스를 포함한다.
• 임의의 $C^r$-일반적인 미분형사 $g$ 가 $f$ 의 잔여 부분집합인 근방 $\mathcal{U}$ 에서 정의될 때, $g|_U$ 의 주기 측도 리아푸노프 맵의 폐포는 $\mathbb{R}^d$ 에서 $\mathcal{G}(\Lambda)$ 의 이웃을 포함한다.
• $C^r$-버전의 뉴하우스 현상—동차선형 접선 근처에서 무한히 많은 소스 또는 싱크가 나타남—은 체계가 체적 초하이퍼볼릭이 아닐 때에만 발생하며, 이는 투라에프의 추측을 확인한다.
• 이 프레임워크는 $C^{1+\alpha}$-위상으로도 확장 가능하며, 동일한 리아푸노프 지수 다면체 특징을 유지한다. 다만 진술은 이에 따라 적응되어야 한다.
• 이형성 사이클의 경우 후보 집합 $\mathcal{G}(\Lambda)$ 는 $\tau \geq \lambda\mu + (1-\lambda)\sigma$ 이고 $i \in I$ 에서 $\tau = \lambda\mu + (1-\lambda)\sigma$ 를 만족하는 볼록 맵 $\tau$ 의 다면체이다. 다만 지수 차이가 1을 초과할 경우 이는 아직 추측에 머물러 있다.
• 결과는 뉴하우스, 팔리스, 비아나의 $C^r$-결과를 $C^r$-일반 역학으로 일반화하였으며, '기계적 원리'-기반의 비지배성 조건을 가정할 경우 보치와 보나티의 $C^1$-결과를 $C^r$-정규성으로 확장하였다.