[논문 리뷰] Stochastic differential equations with Sobolev diffusion and singular drift

Xicheng Zhang|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 28.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 20인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 소볼레프 미분 계수와 특이성 있는 속도를 가진 확률미분방정식(SDE)의 해가 존재하고 유일하며 정칙성을 띤다는 것을 증명한다. 해의 약한 미분 가능성과 말리아빈 미분 가능성도 증명하고, 비즈무-엘워티-리 공식을 유도하며, 이러한 결과들을 이용해 $p>d$ 인 $\mathbb{W}^{1}_{p}(\mathbb{R}^{d};\mathbb{R}^{d})$ 공간에서 비압축성 나비에-스토크스 방정식의 국소 적으로 잘 정의된 해를 증명한다. 주요 기여는 속도와 미분 계수에 대해 최소한의 적분 조건 하에서의 미분 가능성 및 안정성 결과의 확장이다.

ABSTRACT

In this paper we study properties of solutions to stochastic differential equations with Sobolev diffusion coefficients and singular drifts. The properties we study include stability with respect to the coefficients, weak differentiability with respect to starting points, and the Malliavin differentiability with respect to sample paths. We also establish Bismut-Elworthy-Li's formula for the solutions. As an application, we use the stochastic Lagrangian representation of incompressible Navier-Stokes equations given by Constantin-Iyer \cite{Co-Iy} to prove the local well-posedness of NSEs in $\mR^d$ with initial values in the first order Sobolev space $\mW^1_p(\mR^d;\mR^d)$ provided $p>d$.

연구 동기 및 목표

• 최소한의 적분 조건 하에서 소볼레프 미분 계수와 특이성 있는 속도를 가진 SDE의 강한 해의 존재성과 유일성을 확립하기.
• 초기 조건에 대한 해의 약한 미분 가능성과 샘플 경로에 대한 말리아빈 미분 가능성에 대한 연구.
• 해의 기대값에 대한 비즈무-엘워티-리 유형의 도함수 공식 유도.
• SDE의 정규성 결과를 응용하여 $p>d$ 인 $\mathbb{W}^{1}_p(\mathbb{R}^d;\mathbb{R}^d)$ 공간에서 비압축성 나비에-스토크스 방정식의 국소 적으로 잘 정의된 해를 증명하기.
• 속도와 미분 계수의 변화에 대한 편미분에 따른 SDE의 안정성 및 정규성 결과의 확장

제안 방법

• 특이성 있는 속도를 가진 SDE를 다루기 위해 증명하기 위해 증명을 위해 Zvonkin의 변환과 Krylov의 추정을 사용한다. 이는 $L^q_tL^p_x$ 공간에서 $\frac{d}{p} + \frac{2}{q} < 1$ 조건을 만족한다.
• 강한 해의 존재성과 유일성을 증명하기 위해 Girsanov 변환과 PDE 이론을 적용한다. 이는 미분 계수와 속도에 대해 소볼레프 유형 조건을 가정한다.
• 말리아빈 미분 가능성의 해 맵이 샘플 경로에 대해 성립하도록 말리아빈 미분 기법을 활용한다.
• 해 흐름의 연속성과 미분 가능성 성질을 통해 비즈무-엘워티-리 공식을 도출한다.
• 해 흐름을 통해 정의된 비선형 연산자 $\mathbb{T}$ 에 대한 고정점 추론을 통해 나비에-스토크스 방정식의 국소 적으로 잘 정의된 해를 증명한다.
• 최대 $L^p$-정규성 추정과 최대 함수 추정을 적용하여 해의 자코비안과 그 도함수의 성장률을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 속도 $b$ 와 미분 계수 $\sigma$ 가 어떤 조건을 만족할 경우 소볼레프 유형 계수를 가진 SDE가 유일한 강한 해를 가지는가?
• RQ2 초기 조건에 대해 해 흐름 $X_{t,s}(x)$ 는 약한 미분 가능성 성질을 어떻게 보이며?
• RQ3 해 맵 $X_{t,s}(x)$ 는 브라운 운동 경로에 대해 말리아빈 미분 가능성이 있는가? 그리고 말리아빈 도함수의 적분 가능성은 어떠한가?
• RQ4 특이성 있는 속도와 미분 계수 조건 하에서 해의 기대값의 기울기에 대해 비즈무-엘워티-리 유형의 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ5 SDE의 정규성 및 안정성 결과를 응용하여 비압축성 나비에-스토크스 방정식이 $\mathbb{W}^{1}_p(\mathbb{R}^d;\mathbb{R}^d)$ 공간에서 $p>d$ 인 경우에 대해 국소 적으로 잘 정의된 해를 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $b \in L^q([T,S]; L^p(\mathbb{R}^d))$ 에 대해 $\frac{d}{p} + \frac{2}{q} < 1$ 이고 $\sigma$ 가 균일 타원적이고 허더 연속일 경우, 유일한 강한 해가 존재하며 시간과 초기 조건에 대해 연속적이다.
• 해 흐름 $X_{t,s}(x)$ 는 거의 모든 $\omega$ 에 대해 $x$ 에 대해 약한 미분 가능성을 가지며, 자코비안 $\nabla X_{t,s}(x)$ 는 균일한 순간 추정을 만족한다: $\mathrm{ess.\, sup}_{x\in\mathbb{R}^d} \mathbb{E}\left(\sup_{s\in[t,S]}|\nabla X_{t,s}(x)|^{p'}\right) \leq C$ 이다. 여기서 $p' \geq 1$ 이다.
• 해는 말리아빈 미분 가능하며, 말리아빈 도함수는 $\sup_{x\in\mathbb{R}^d} \mathbb{E}\left(\sup_{s\in[t,S]}\|DX_{t,s}(x)\|_\mathbb{H}^{p'}\right) < \infty$ 를 만족한다. 여기서 $p' \geq 1$ 이다.
• 비즈무-엘워티-리 공식이 도출된다: $\nabla \mathbb{E} f(X_{t,s}(x)) = \frac{1}{s-t} \mathbb{E}\left(f(X_{t,s}(x)) \int_t^s \sigma^{-1}_r(X_{t,r}(x)) \nabla X_{t,r}(x) \, dW_r\right)$.
• SDE 결과를 응용하여 비압축성 나비에-스토크스 방정식이 $\mathbb{R}^d$ 에서 초기 조건이 $\mathbb{W}^{1}_p(\mathbb{R}^d;\mathbb{R}^d)$ 인 경우에 대해 $p>d$ 인 경우에 대해 국소 적으로 잘 정의된 해를 증명한다. 이는 확률적 라그랑주 표현을 통해 이루어진다.
• 속도의 변화에 따른 해 맵의 안정성이 확립된다: 짧은 시간 간격 $[T_1,0]$ 에 대해 $\|\mathbb{T}(b) - \mathbb{T}(b')\|_{L^p} \leq \frac{1}{2}\|b - b'\|_{\mathbb{L}^\infty_p(T_1,0)}$ 이다.