[논문 리뷰] Stochastic Discontinuous Galerkin Methods with Low--Rank Solvers for Convection Diffusion Equations

Pelin Çi̇loğlu, Hamdullah Yücel|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 04.

Probabilistic and Robust Engineering Design참고 문헌 50인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 랜덤 계수를 가진 대류-확산 방정식을 효율적으로 해결하기 위해 확률적 불연속 갈레르킨 방법과 저랭크 크레보프 해법기를 결합한다. 확률적 갈레르킨 방법을 사용하여 문제를 결정론적 방정식의 연립계로 변환하고, 시스템 행렬에 저랭크 근사법을 적용함으로써 저장 용량과 계산 비용을 크게 감소시키면서도 정확도를 유지한다. 특히 대류 지배 문제에서 뛰어난 성능을 발휘한다.

ABSTRACT

We investigate numerical behaviour of a convection diffusion equation with random coefficients by approximating statistical moments of the solution. Stochastic Galerkin approach, turning the original stochastic problem to a system of deterministic convection diffusion equations, is used to handle the stochastic domain in this study, whereas discontinuous Galerkin method is used to discretize spatial domain due to its local mass conservativity. A priori error estimates of the stationary problem and stability estimate of the unsteady model problem are derived in the energy norm. To address the curse of dimensionality of Stochastic Galerkin method, we take advantage of the low--rank Krylov subspace methods, which reduce both the storage requirements and the computational complexity by exploiting a Kronecker--product structure of system matrices. The efficiency of the proposed methodology is illustrated by numerical experiments on the benchmark problems.

연구 동기 및 목표

• 랜덤 계수를 가진 대류-확산 방정식에 대한 확률적 갈레르킨 방법의 차원의 극복 문제를 해결한다.
• 확률적 갈레르킨, 불연속 갈레르킨, 저랭크 크레보프 해법기를 결합한 수치적 프레임워크를 개발한다.
• 정적 문제에 대해 에너지 노름 기반 사전 오차 추정치를 제공하고, 비정적 문제에 대해 안정성 추정치를 제시한다.
• 저랭크 해법기가 기억장과 CPU 시간을 줄이면서도 해의 정확도를 유지하는 데 효과적인지 입증한다.

제안 방법

• 확률적 갈레르킨 방법을 적용하여 확률적 대류-확산 PDE를 결정론적 대류-확산 방정식의 결합계로 변환한다.
• 공간 이산화에 불연속 갈레르킨 방법을 사용하여 국소 질량 보존성과 안정성을 확보하며, 특히 대류 지배 영역에서 유리하다.
• 카르누엔-로브 전개를 사용하여 랜덤 계수를 상관관계가 없는 무작위 변수의 유한 집합으로 표현한다.
• 확률적 갈레르킨 설정에서 발생하는 대규모 선형 연립방정식을 해결하기 위해 저랭크 크레보프 부분공간 방법(LRPCG, LRPBiCGstab, LRPGMRES 등)을 활용한다.
• 시스템 행렬의 크론커 곱 구조를 활용하여 저장 용량과 계산 복잡도를 감소시킨다.
• 수렴 속도를 향상시키기 위해 평균 기반(P₀) 및 울만 기반(P₁) 조건자(preconditioner)를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 저랭크 크레보프 해법기 전략은 확률적 갈레르킨 이산화에서 차원의 극복 문제를 어떻게 완화하는가?
• RQ2 상관 길이가 저랭크 해의 랭크와 해법기 성능에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ3 다양한 크레보프 해법기(CG, BiCGstab, GMRES 등)가 저랭크 형태로 적용되었을 때 수렴성과 계산 비용은 어떻게 비교되는가?
• RQ4 제안된 방법은 정적 및 비정적 대류-확산 문제에 대해 랜덤 계수를 가진 경우 최적의 수렴 속도와 안정성을 달성할 수 있는가?
• RQ5 평균 기반 및 울만 기반 조건자는 저랭크 반복 해법기의 수렴을 가속화하는 데 얼마나 효과적인가?

주요 결과

• LRPGMRES 해법기는 다른 저랭크 크레보프 해법기들보다 뛰어난 성능을 보이며, 특히 대류 지배 문제에서 유리하다.
• 상관 길이 ℓ = 1.5 및 N = 17일 때, 저랭크 LRPCG 방법은 CPU 시간 20,658.3초, 메모리 1,821 KB를 소요하였고, 전체 랭크 PCG는 41,345.0초 및 54,720 KB를 소요하였다.
• 울만 조건자(P₁)는 평균 기반 조건자(P₀)보다 CPU 시간을 크게 감소시켰으며, ℓ = 1.5일 때 LRPCG는 P₀ 기반 20,658.3초 대비 P₁ 기반 18,214.5초를 기록하였다.
• 다양한 상관 길이에 걸쳐 반복 횟수는 안정적으로 4~5로 유지되었지만, 상관 길이가 감소함에 따라 랭크 요구량이 증가하여 CPU 시간과 메모리 소비가 증가하였다.
• 저랭크 해법기의 상대 잔여항은 3e-4 이하로 유지되어, 저랭크 근사에도 불구하고 뛰어난 정확도를 확보하였다.
• 상관 길이 ℓ = 3, 2, 1.5에 대해 각각 N = 9, 13, 17의 절단 파rameter를 사용할 때 변동성의 97% 이상을 포괄하였으며, 이는 절단 전략의 타당성을 입증한다.