[논문 리뷰] Stochastic ep load balancing and moment problems via the L-function method

Marco Molinaro|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 06.

Advanced Queuing Theory Analysis인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 L-함수 방법을 확률적 로드 밸런싱 문제에 새로운 응용하여 p-노름 목표를 갖는 문제에 대해 상수 요인 근사값을 도출한다. 이는 이전의 O(p/ln p)-근사값에 비해 크게 향상된 Stochastic ep Load Balancing Problem (StochLoadBalp)에 대해 상수 요인 근사값을 달성한다. 이 방법은 확률 변수의 p-거듭제곱 모멘트를 분리 가능하고 변량 기반으로 모델링할 수 있게 하여, 지수적으로 많은 제약 조건이 존재함에도 불구하고 효율적인 볼록 relaxation과 반올림을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This paper considers stochastic optimization problems whose objective functions involve powers of random variables. For a concrete example, consider the classic Stochasticep Load Balancing Problem (StochLoadBalp): There are m machines and n jobs, and we are given independent random variables Yij describing the distribution of the load incurred on machine i if we assign job j to it. The goal is to assign each job to the machines in order to minimize the expected ep-norm of the total load incurred over the machines. That is, letting Ji denote the jobs assigned to machine i, we want to minimize E(∑i(∑j ∈ JiYij)p)1 / p. While convex relaxations represent one of the most powerful algorithmic tools, in problems such as StochLoadBalp the main difficulty is to capture such objective function in a way that only depends on each random variable separately.In this paper, show how to capture p-power-type objectives in such separable way by using the L-function method. This method was precisely introduced by Latala to capture in a sharp way the moment of sums of random variables through the individual marginals. We first show how this quickly leads to a constant-factor approximation for very general subset selection problem with p-moment objective.Moreover, we give a constant-factor approximation for StochLoadBalp, improving on the recent O(p/ln p)-approximation of [Gupta et al., SODA 18]. Here the application of the method is much more involved. In particular, we need to prove structural results connecting the expected ep-norm of a random vector with the p-moments of its coordinate-marginals (machine loads) in a sharp way, taking into account simultaneously the different scales of the loads that are incurred in the different machines by an unknown assignment. Moreover, our starting convex (indeed linear) relaxation has exponentially many constraints that are not conducive to integral rounding; we need to use the solution of this LP to obtain a reduced LP which can then be used to obtain the desired assignment.

연구 동기 및 목표

• 랜덤 작업 할당이 있는 확률적 로드 밸런싱에서 기계 부하의 기대 p-노름을 최소화하는 문제에 대응하기 위해.
• 개별 확률 변수의 변량만을 사용하여 p-거듭제곱 유형 목표를 분리 가능하게 포괄하는 방법을 개발하기 위해.
• StochLoadBalp에 대해 이전의 O(p/ln p)-근사값을 개선하여 상수 요인 근사값을 달성하기 위해.
• 지수적으로 많은 제약 조건을 처리할 수 있는 구조적 선형계획법 축소를 통한 볼록 relaxation 프레임워크를 설계하기 위해.
• 다양한 부하 척도에서 랜덤 벡터의 기대 p-노름과 좌표 변량의 p-모멘트 사이의 날카운 연결 고리를 설정하기 위해.

제안 방법

• Latala가 개발한 원래의 L-함수 방법을 활용하여, 단지 변량 분포만을 사용하여 랜덤 변수 합의 모멘트를 정확히 추정한다.
• 이 방법을 적용하여 p-거듭제곱 목표를 분리 가능 형태로 모델링함으로써, 기계와 작업 할당에 따라 분해할 수 있도록 한다.
• 전체 부하의 기대 p-노름과 개별 기계 부하 변량의 p-모멘트 사이를 연결하는 구조적 부등식을 유도한다.
• 할당 문제를 모델링하기 위해 지수적으로 많은 제약 조건을 포함하는 초기 선형계획형식을 구축한다.
• 원래의 문제의 해를 이용해 초기 LP를 축소하여 처리 가능한 크기의 더 작은 LP로 전환함으로써 효과적인 반올림과 할당을 가능하게 한다.
• 축소된 LP를 사용하여 StochLoadBalp에 대한 상수 요인 근사 알고리즘을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 L-함수 방법은 p-노름 목표를 갖는 확률적 로드 밸런싱에 대해 상수 요인 근사값을 제공하도록 적응시킬 수 있는가?
• RQ2 기계 부하의 p-모멘트는 다양한 부하 척도에서 총 부하 벡터의 기대 p-노름과 어떻게 날카롭고 척도 불변 방식으로 연결될 수 있는가?
• RQ3 부하 분포의 어떤 구조적 성질이 지수적으로 많은 제약 조건이 존재함에도 불구하고 근사 보장을 유지하는 축소된 LP 공식화를 가능하게 하는가?
• RQ4 StochLoadBalp에 대해 O(p/ln p) 기준을 초월하는 상수 요인 근사값을 달성하는 것이 가능한가?
• RQ5 p-거듭제곱 목표를 분리 가능하고 변량 기반 제약 조건을 통해 포괄할 수 있도록 볼록 relaxation을 어떻게 설계할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 Stochastic ep Load Balancing Problem에 대해 이전의 O(p/ln p)-근사값을 초월하여 상수 요인 근사값을 달성한다.
• L-함수 방법은 개별 랜덤 변수의 변량 분포만을 사용하여 p-거듭제곱 목표를 날카롭고 분리 가능하게 특성화할 수 있게 한다.
• 랜덤 벡터의 기대 p-노름과 좌표 변량의 p-모멘트 사이의 관계를 기반으로 하는 구조적 결과가 증명되었으며, 이는 다양한 부하 척도를 고려한다.
• 지수 크기의 초기 LP에서 축소된 선형계획형식이 구성되어, 근사 보장을 유지하면서도 효율적인 반올림과 할당을 가능하게 한다.
• 이 방법은 기계 간 할당 척도가 알려져 있지 않은 문제 도전 과제를 척도 불변 모멘트 부등식을 활용하여 효과적으로 처리한다.
• 이 접근법은 복잡한 p-노름 목표를 변량 기반 볼록 relaxation을 통해 효과적으로 포괄하고 근사화할 수 있음을 보여준다.