[논문 리뷰] Stochastic flows for Lévy processes with Hölder drifts

Zhen-Qing Chen, Renming Song외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 20.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 23인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 연속성 드리프트를 가진 레비 과정에 의해 구동되는 확률미분방정식(SDEs)에 대해 강한 존재성과 경로별 유일성을 강력하게 확립한다. 이는 드리프트가 점프 활동을 지배하는 초임계 영역으로 이전 결과를 확장한 것이다. α ∈ (0, 2)인 α-스테이블 타입 레비 과정과 유계이며 β-힐버트 연속성 드리프트 b(β ∈ (1 - α/2, 1))를 가진 SDE는 유일한 강한 해를 가지며, 이는 프리올라(2011)에서 제기한 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

In this paper we study the following stochastic differential equation (SDE) in ${\mathbb R}^d$: $$ \mathrm{d} X_t= \mathrm{d} Z_t + b(t, X_t)\mathrm{d} t, \quad X_0=x, $$ where $Z$ is a Lévy process. We show that for a large class of Lévy processes ${Z}$ and Hölder continuous drift $b$, the SDE above has a unique strong solution for every starting point $x\in{\mathbb R}^d$. Moreover, these strong solutions form a $C^1$-stochastic flow. As a consequence, we show that, when ${Z}$ is an $α$-stable-type Lévy process with $α\in (0, 2)$ and $b$ is bounded and $β$-Hölder continuous with $β\in (1- α/{2},1)$, the SDE above has a unique strong solution. When $α\in (0, 1)$, this in particular solves an open problem from Priola \cite{Pr1}. Moreover, we obtain a Bismut type derivative formula for $ abla {\mathbb E}_x f(X_t)$ when ${Z}$ is a subordinate Brownian motion. To study the SDE above, we first study the following nonlocal parabolic equation with Hölder continuous $b$ and $f$: $$ \partial_t u+{\mathscr L} u+b\cdot abla u+f=0,\quad u(1, \cdot )=0, $$ where $\mathscr L$ is the generator of the Lévy process ${Z}$.

연구 동기 및 목표

• 순수 점프 레비 과정에 의해 구동되는 SDE에 대해 드리프트가 리프시츠가 아닐 경우 강한 존재성과 경로별 유일성 결과가 부족한 점, 특히 초임계 영역에서의 문제를 다룬다.
• 지난 연구에서 제존킨 및 베레텐니코프 타입 변환을 비국소 생성자에 대해 확장하여, α-스테이블 및 서브오르더드 브라운 운동을 포함한 일반 레비 과정에 적용한다.
• 프리올라(2011)에서 제기한 문제를 해결한다. 즉, α ∈ (0, 1)인 α-스테이블 과정을 구동원으로 사용할 때 시간에 의존하는 힐버트 연속 드리프트에 대해 경로별 유일성이 성립하는지 여부이다.
• 서브오르더드 브라운 운동을 구동원으로 사용할 경우, 해의 전이 밀도의 기울기 ∇𝔼ₓf(Xₜ)에 대해 비즈무트 유형의 도함수 공식을 수립한다.
• 유일한 강한 해로부터 C¹-확률적 흐름(diffeomorphisms)을 구성하여 초기 조건에 대한 매끄러운 의존성을 보장한다.

제안 방법

• 레비 과정 Z의 생성자 ℒ을 갖는 비국소 포아송 PDE ∂ₜu + ℒu + b·∇u + f = 0을 분석하기 위해 제존킨 타입 변환을 사용한다.
• 레비 생성자의 구조와 b, f의 힐버트 연속성에 기반하여 비국소 PDE의 해에 대한 사전 힐버트 추정을 수립한다.
• 부드러운 계수를 가진 SDE의 수열을 통해 해를 구성하기 위해 시간 정규화 및 근사화 기법을 적용한 후, 코시 수열의 수렴성과 타이트니스를 이용해 극한으로 이행한다.
• 큰 점프 사이의 간격으로 과정의 경로적 행동을 분해하기 위해 점프 강도 임계값 기반의 정지시간 기법을 사용한다.
• 그로워발의 부등식과 모멘트 추정을 적용하여 근사 과정 간의 L²-차이를 제어하고, 확률적 수렴과 부분수열에 대한 거의 확실 수렴을 증명한다.
• Z가 서브오르더드 브라운 운동일 경우, 해의 말리아빈 미분을 분석함으로써 ∇𝔼ₓf(Xₜ)에 대한 비즈무트 유형의 도함수 공식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Z가 α ∈ (0, 2)인 α-스테이블 타입 레비 과정이고 b가 유계이며 β-힐버트 연속성(β ∈ (1 - α/2, 1))을 가지는 경우, dXₜ = dZₜ + b(t, Xₜ)dt 형태의 SDE는 유일한 강한 해를 가지는가?
• RQ2 일반 레비 과정에 의해 구동되는 SDE에 대해, 특히 초임계 영역(α ∈ (0, 1))에서 힐버트 연속 드리프트를 가진 경우 강한 존재성과 경로별 유일성을 확립할 수 있는가?
• RQ3 구동 과정이 서브오르더드 브라운 운동일 경우, 전이 기대값 ∇𝔼ₓf(Xₜ)의 기울기에 대해 비즈무트 유형의 도함수 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 SDE의 유일한 강한 해들이 초기 조건에 대해 매끄럽게 의존하는 C¹-확률적 흐름(diffeomorphisms)을 형성할 수 있는가?
• RQ5 f와 b가 힐버트 연속일 때, 비국소 포아송 PDE ∂ₜu + ℒu + b·∇u + f = 0의 해가 힐버트 연속성을 가지는가? 여기서 ℒ은 레비 과정의 생성자이다.

주요 결과

• α ∈ (0, 2)인 α-스테이블 타입 레비 과정과 유계이며 β-힐버트 연속성(β ∈ (1 - α/2, 1))을 가진 드리프트 b를 갖는 SDE dXₜ = dZₜ + b(t, Xₜ)dt는 모든 초기 조건 x ∈ ℝᵈ에 대해 유일한 강한 해를 가진다.
• α ∈ (0, 1)일 경우, 이 결과는 프리올라(2011)에서 제기한 열린 문제를 해결한다. 즉, 초임계 영역에서 시간에 의존하지 않는 힐버트 연속 드리프트에 대해 이전에는 경로별 유일성이 확립되지 않았다.
• 유일한 강한 해들은 C¹-확률적 흐름(diffeomorphisms)을 형성하며, 이는 해 매핑 x ↦ Xₜ(x)가 연속적으로 미분 가능하고 도함수의 공동 가측성 버전이 존재함을 의미한다.
• Z가 서브오르더드 브라운 운동일 경우, ∇𝔼ₓf(Xₜ)에 대해 비즈무트 유형의 도함수 공식이 유도되며, 이는 전이 밀도의 기울기 추정을 제공한다.
• f와 b가 힐버트 연속일 때, 비국소 포아송 PDE ∂ₜu + ℒu + b·∇u + f = 0의 해에 대해 사전 힐버트 추정이 확립되며, 이 추정의 상한은 f와 b의 힐버트 노름 및 Z의 레비 측도에 의존한다.
• 모멘트 추정과 그로워발의 부등식을 통해 근사 수열의 수렴이 증명되며, 이는 극한이 거의 확실히 원래 SDE를 만족함을 보장한다.