[논문 리뷰] Stochastic Flows on Non-compact Manifolds

Xue-Mei Li|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 31.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 36인용 수 27

한 줄 요약

본 연구는 비가산 매니폴드에서의 SDE 해의 흐름의 존재성과 성질을 연구하고, 도함수 흐름을 통해 강한 p-완전성(strong p-completeness)을 도입하며, 형식에 대한 열 연산기에서의 마팅게일 기반 표현을 도출하고, 기하학적/위상적 함의를 얻는다.

ABSTRACT

I was asked to make my, by now quite old PhD thesis, available on the arxiv, for parts of it was never submitted for publication. The thesis offers a systematic study of stochastic differential equations (SDEs) on non-compact spaces. In particular we solve the open problem on strong completeness. An SDE is strongly complete if its solution can be chosen to depend continuously in space and in time for all time. The question is whether non-explosion, with possibly additional assumptions, implies strong completeness. Strong completeness of an SDE implies that its solution depends continuously on the initial condition, opening up possibility for numerical solutions, and the existence of a perfect Cocycle (a basic assumption on random dynamical systems). This was known only for compact manifolds and for linear state spaces, methods for either are not applicable to a general space. We also obtain existence of the global smooth solution flow of SDEs on $R^n$ (sometimes allowing substantial growth of the derivative of the coefficients, removing the global Lipschitz continuity condition). Non-explosion, the $C_0$-property, and the derivative flow are studied. We showed Bismut-Witten Laplacians are essentially self-adjojnt, paving the way for studying theirs semigroups acting on functions and on differential forms. We relate the Markovian semi-group on differential one forms with the semi-group $P_t$ on functions (inter-twining), find a method for proving path integration formulas for $dP_tf$, path integration formula for semi-group on differential forms, moment bounds for the derivative flows. Relation are obtained between intrinsic topological and geometrical properties of the manifold and that of SDEs. Information on the homotopy and cohomology of the manifolds are obtained from moment stability of the stochastic flows.

연구 동기 및 목표

• 비콤팩트 매니폴드에서의 확률적 흐름의 존재성과 성질을 조사한다.
• 도함수 흐름 조건 아래에서 강한 완전성(strong completeness)과 강한 p-완전성(strong p-completeness)을 확립한다.
• 확산 과정의 거동을 기저 매니폴드의 기하학적/위상적 특성과 연결한다.

제안 방법

• 초기 데이터에 대한 도함수와 결합된 해 흐름을 도입하여 도함수 흐름 방법을 제시한다.
• 강한 p-완전성 및 비폭발을 가능하게 하는 계수 증가 조건을 개발한다.
• dP_t f = δP_t(df) 이라는 얽힘 관계를 도출하고 함수 및 미분 형식에 대한 semigroups를 연구한다.
• 형식에 가중된 열 세미그룹에 대한 마팅게일 기반 적분 표현을 제공하고, Bismut의 공식을 확장한다.
• 무약한 균일 피복 기법을 사용하여 무한대에서의 거동과 비폭발을 분석한다.
• moment 안정성, π1(M)의 소멸, 코호몰로지 사이의 연결을 열역의 Lp-유계성 열 세미그룹을 통해 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비콤팩트 매니폴드에서 글로벌하게 정의된 부드러운 해 흐름이 존재하는데 필요한 계수와 도함수 흐름에 대한 조건은 무엇인가?
• RQ2 강한 p-완전성은 확산의 비폭발과 모멘트 안정성에 어떻게 연결되는가?
• RQ3 도함수 흐름의 증가 제한이 π1(M)과 조화로운 형식과 같은 위상적 특징에 어떤 함의를 가지는가?
• RQ4 비콤팩트 매니폴드에서 함수 및 미분 형식에 작용하는 세미그룹에 대한 얽힘 및 기울기 공식은 무엇인가?
• RQ5 1-형식이 아닌 경우를 포함하여 형식에 대한 열 세미그룹의 마팅게일 방법으로 적분 표현을 얻을 수 있는가?

주요 결과

• 도함수 흐름에 대한 적분성 경계 아래에서 강한 1-완전성과 강한 p-완전성을 달성할 수 있다.
• R^n의 열린 구간에서의 SDE 및 이차 기본 형식이 유한한 부분다양체에서의 브라운 운동 계에 대한 비폭발 결과.
• dP_t f = δP_t(df)라는 얽힘 성질이 도함수 흐름에 대한 조건에서 성립하여 기울기 표현을 가능하게 한다.
• 미분 형식에 대한 열 세미그룹의 Lp-유계성 및 수축성 프레임워크가 코호몰로지 소실 결과로 이어진다.
• d(P_t f)에 대한 마팅게일 기반 적분 표현이 Bismut의 공식을 형식 및 고차 차수 형식으로 확장한다.
• gradient SDE를 통해 얻은 q-forms(q ≥ 1)에 대한 d(P_t φ) 공식은 특정 설정에서 로그 열 커널의 기울기를 제공한다.