[논문 리뷰] Stochastic Fusion of Interacting Particle Systems and Duality Functions

Jeffrey Kuan|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 06.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 33인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 정(stationary) 측도와 Rogers–Pitman 통합을 사용하여 배제 과정에서 다입자 상호작용 입자 시스템을 구성하는 새로운 방법인 확률적 융합(stochastic fusion)을 소개한다. 이는 융합된 과정에 대해 마코프 이중성을 확립함으로써, 개방 경계 조건이 있는 일반화된 대칭 및 비대칭 배제 과정에 대한 유체역학적 극한과 정착 측도 계산을 가능하게 한다. 이는 비균일성 및 동적 변형도 포함된다.

ABSTRACT

We introduce a new method, which we call stochastic fusion, which takes an exclusion process and constructs an interacting particle systems in which more than one particle may occupy a lattice site. The construction only requires the existence of stationary measures of the original exclusion process on a finite lattice. If the original exclusion process satisfies Markov duality on a finite lattice, then the construction produces Markov duality functions (for some initial conditions) for the fused exclusion process. The stochastic fusion construction is based off of the Rogers-Pitman intertwining. In particular, we have results for three types of models: 1. For symmetric exclusion processes, the fused process and duality functions are inhomogeneous generalizations of those in \cite{GKRV}. The construction also allows a general class of open boundary conditions: as an application of the duality, we find the hydrodynamic limit and stationary measures of the generalized symmetric simple exclusion process SSEP$(m/2)$ on $\mathbb{Z}_+$ for open boundary conditions. 2. For the asymmetric simple exclusion process, the fused process and duality functions are inhomogeneous generalizations of those found in \cite{CGRS} for the ASEP$(q,j)$. As a by-product of the construction, we show that the multi-species ASEP$(q,j)$ preserves $q$-exchangeable measures, and use this to find new duality functions for the ASEP, ASEP$(q,j)$ and $q$-Boson. Additionally, the construction leads to duality for ASEP with open boundary conditions. As an application of the latter duality, we find the hydrodynamic limit. 3. For dynamic models, we fuse the dynamic ASEP from \cite{BorodinDyn}, and produce a dynamic and inhomogeneous version of ASEP$(q,j)$. We also apply stochastic fusion to IRF models and compare them to previously found models. We include an appendix co-authored with Amol Aggarwal.

연구 동기 및 목표

• 단일 입자 배제 과정에서 다입자 상호작용 입자 시스템을 구성하는 일반적인 방법을 개발하기 위해.
• 원래 과정의 정착 측도와 Rogers–Pitman 통합을 사용하여 융합된 과정에 대해 마코프 이중성을 확립하기 위해.
• ASEP와 SSEP의 비균일성, 개방 경계, 동적 변형까지 확장된 결과를 도출하기 위해, 다종류 입자 및 고스핀 모델을 포함하여 이중성 결과를 확장하기 위해.
• 유도된 이중성 함수를 통해 일반화된 배제 과정에 대한 유체역학적 극한과 정착 측도를 유도하기 위해.
• Aggarwal과 공동으로 작성한 부록을 통해 대수적 구조와 버텍스 모델 간의 연결을 명확히 하여, 입자 시스템의 융합이 확률적 버텍스 모델과 어떻게 연결되는지 밝히기 위해.

제안 방법

• 확률적 융합은 원래의 배제 과정의 정착 측도에서 유도된 확률적 통합 행렬을 적용하여 새로운 과정을 구성한다.
• 이 방법은 Rogers–Pitman 통합 관계를 활용하며, 원래 마코프 과정의 함수가 특정 변환 하에 마코프 과정이 되는 것을 기반으로 한다.
• 융합 과정의 이중성 함수는 원래 과정이 유한 격자에서 마코프 이중성을 만족할 경우, 원래 과정의 이중성에서 유도된다.
• 이 구성은 대칭 배제 과정(SSEP), 비대칭 배제 과정(ASEP), 그리고 동적 ASEP에 적용되어 비균일 일반화를 이끌어낸다.
• 동적 모델의 경우, 이 방법은 ASEP(q,j)의 동적이고 비균일한 버전을 생성하며, q-교환 가능 측도 하에서 이중성이 유지된다.
• 부록에서는 q-항등식과 버텍스 모델의 가중치를 사용하여 대수적 기반을 탐색하며, 입자 시스템의 융합과 확률적 버텍스 모델 간의 연결을 맺는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 원래 과정이 유한 격자에서 이중성을 만족할 경우, 다입자 상호작용 입자 시스템을 구성하는 체계적인 방법을 개발할 수 있는가?
• RQ2 원래 과정이 유한 격자에서 이중성을 만족할 때, 확률적 융합 구성이 마코프 이중성을 어떻게 유지하는가?
• RQ3 개방 경계 조건이 있는 일반화된 대칭 및 비대칭 배제 과정에 대해 유체역학적 극한과 정착 측도는 무엇인가?
• RQ4 융합 방법은 동적 모델로 어떻게 확장될 수 있으며, 동적 ASEP(q,j) 및 q-Boson 과정에 대해 새로운 이중성 함수는 무엇인가?
• RQ5 확률적 입자 시스템에서의 융합과 확률적 버텍스 모델에서의 융합 간의 대수적 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 확률적 융합 방법은 원래의 배제 과정의 정착 측도만을 사용하여 다수의 입자가 한 위치에 존재할 수 있는 새로운 상호작용 입자 시스템을 구성한다.
• 대칭 배제 과정의 경우, 융합된 과정과 이중성 함수는 [GKRV09]의 결과의 비균일 일반화이며, 개방 경계 조건이 있는 Z+에서의 SSEP(m/2)에 대해 유체역학적 극한과 정착 측도가 유도된다.
• 비대칭 배제 과정의 경우, 융합된 ASEP(q,j)는 q-교환 가능 측도를 유지하며, ASEP, ASEP(q,j), q-Boson에 대해 새로운 이중성 함수를 이끌어내고, 반직선에서의 개방 경계 조건이 있는 ASEP에 대해 유체역학적 극한 계산을 가능하게 한다.
• 동적 ASEP(q,m) 모델은 성공적으로 동적이고 비균일한 ASEP(q,j)로 융합되었으며, 유한 격자 시스템에 대해 새로운 가정(안사드)을 통해 이중성이 확립되었다.
• 이 구성은 [Agg18]의 재매개변수화된 형태와 일치하는 새로운 이중성 함수를 도출하였으며, 기존의 버텍스 모델 융합 결과와의 일관성을 확인한다.
• 동적 q-Boson 모델의 연속 시간 극한이 분석되었으며, 그 결과로 얻어진 점프 비율은 비동적 경우와 다름을 보이며, [KMMO16]의 알려진 항등식의 특수한 경우와 일치함을 보였다.