[논문 리뷰] Stochastic Nonlinear Model Predictive Control with Efficient Sample Approximation of Chance Constraints

Stefan Streif, Matthias Karl외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 16.

Advanced Control Systems Optimization참고 문헌 67인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 다항식 혼합(gPC)을 사용하여 시간 불변 불확실성 하에서 확률 제약 조건을 효율적으로 처리하는 스토케스틱 비선형 모델 예측 제어(NMPC) 프레임워크를 제안한다. 이는 불확실성 전파를 위해 gPC를 사용하고, 표본 기반 근사치를 통해 제약 조건을 근사한다. 또한 사전 통계적 방법을 도입하여 최소한의 제약 조건 타이트닝과 표본 기반 기울기 근사를 가능하게 하여, 타당성 보장과 더불어 기존의 강건하거나 결정론적 접근보다 더 적은 보수성으로 실시간 NMPC를 실현한다.

ABSTRACT

This paper presents a stochastic model predictive control approach for nonlinear systems subject to time-invariant probabilistic uncertainties in model parameters and initial conditions. The stochastic optimal control problem entails a cost function in terms of expected values and higher moments of the states, and chance constraints that ensure probabilistic constraint satisfaction. The generalized polynomial chaos framework is used to propagate the time-invariant stochastic uncertainties through the nonlinear system dynamics, and to efficiently sample from the probability densities of the states to approximate the satisfaction probability of the chance constraints. To increase computational efficiency by avoiding excessive sampling, a statistical analysis is proposed to systematically determine a-priori the least conservative constraint tightening required at a given sample size to guarantee a desired feasibility probability of the sample-approximated chance constraint optimization problem. In addition, a method is presented for sample-based approximation of the analytic gradients of the chance constraints, which increases the optimization efficiency significantly. The proposed stochastic nonlinear model predictive control approach is applicable to a broad class of nonlinear systems with the sufficient condition that each term is analytic with respect to the states, and separable with respect to the inputs, states and parameters. The closed-loop performance of the proposed approach is evaluated using the Williams-Otto reactor with seven states, and ten uncertain parameters and initial conditions. The results demonstrate the efficiency of the approach for real-time stochastic model predictive control and its capability to systematically account for probabilistic uncertainties in contrast to a nonlinear model predictive control approaches.

연구 동기 및 목표

• 시간 불변 확률적 불확실성이 파라미터와 초기 조건에 존재하는 비선형 시스템을 위한 계산적으로 효율적인 스토케스틱 NMPC 방법을 개발하는 것.
• 비선형 시스템에서 확률 제약 조건의 계산 불가능성을 해결하기 위해 제약 조건 이행 확률의 효율적 샘플링과 근사치를 가능하게 하는 것.
• 최악의 경우 경계가 아닌 확률적 불확실성 분포를 통합함으로써 강건 MPC에 내재된 보수성을 줄이는 것.
• 분석적 기울기의 표본 기반 근사를 통해 온라인 최적화의 효율성을 향상시키는 것.
• 표본 수에 대한 사전 통계적 경계를 제공하여 표본 근사 최적화 문제의 타당성을 보장하는 것.

제안 방법

• 시간 불변 스토케스틱 불확실성을 비선형 동역학을 통해 전파하기 위해 일반화된 다항식 혼합(gPC)을 사용하여 상태 확률 밀도에서 효율적인 샘플링을 가능하게 한다.
• 불확실성 실현값을 샘플링하고 제약 조건 이행 확률을 평가하여 시나리오 기반 접근법을 적용해 확률 제약 조건을 근사한다.
• 주어진 표본 크기에서 원하는 타당성 확률을 확보하기 위해 필요한 최소한의 제약 조건 타이트닝을 확보하기 위해 통계 분석을 도입한다.
• 제약 조건 함수의 근에서 유도된 적응형 통합 한계를 사용하는 조각별 통합 방법을 적용하여 확률 추정의 정확도를 향상시킨다.
• 분석적 기울기의 표본 기반 근사를 유도하기 위해 확률 적분을 제어 변수에 대해 미분함으로써 유한 차분 근사를 피한다.
• 암시 함수 정리를 사용하여 통합 한계의 제어 변수에 대한 편미분을 계산함으로써, 통합 경계가 최적화 변수에 의존하는 경우에도 기울기 계산이 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차원 확률 적분의 정확한 해석적 해가 필요 없이도 비선형 스토케스틱 MPC에서 확률 제약 조건을 어떻게 효율적으로 근사할 수 있는가?
• RQ2 원하는 타당성 확률을 확보하기 위해 필요한 최소 표본 크기는 무엇이며, 이를 사전에 어떻게 결정할 수 있는가?
• RQ3 분석적 형태가 없을 경우에도 실시간 최적화를 위해 비선형 확률 제약 조건의 기울기를 정확하고 효율적으로 어떻게 근사할 수 있는가?
• RQ4 제안된 방법은 계산 가능성을 유지하면서 강건한 결정론적 MPC에 비해 얼마나 보수성을 줄이는가?
• RQ5 제안된 방법은 분석적 동역학과 분리 가능한 입력, 상태, 파라미터를 가진 일반적인 비선형 시스템에 적용 가능한가?

주요 결과

• 제안된 방법은 효율적 샘플링과 통계적 제약 조건 타이트닝을 통해 계산 부담을 크게 줄여 실시간 스토케스틱 NMPC를 가능하게 한다.
• 사전에 결정된 제약 조건 타이트닝은 표본 근사 최적화 문제의 원하는 타당성 확률을 최소한의 보수성으로 달성함을 보장한다.
• 유한 차분 방법에 비해 표본 기반 기울기 근사는 표본 수가 제한된 경우에도 최적화 효율성과 정확도를 향상시킨다.
• 시스템 동역학이 분석적이고 입력, 상태, 파라미터로 분리 가능한 한계까지 적용 가능한 광범위한 비선형 시스템에 대해 적용 가능하다.
• 7개 상태와 10개의 불확실한 파라미터를 가진 Williams-Otto 반응기 사례 연구에서, 이 방법은 불확실성 하에서도 제약 조건 이행을 성공적으로 유지하였고, 강건성과 성능 면에서 결정론적 NMPC를 능가하였다.
• gPC와 시나리오 기반 최적화의 통합은 결과 상태 분포가 정규분포가 아니어도 비선형 동역학을 통해 불확실성 분포를 정확히 전파할 수 있도록 한다.