[논문 리뷰] Stochastic Variational Method as a Quantization Scheme II: Quantization of Electromagnetic Fields

T. Kodama, K. Tsushima|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 24.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 1인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 게이지 불변 라그랑지안에서 직접 전자기장을 양자화하기 위해 확률적 변분법(SVM)을 적용한다. 여기서 캐논ical 쌍 변수를 생략한다. 쿨롱 게이지에서는 SVM이 표준 양자화를 재현하며, 로렌츠 게이지에서는 시간적 및 종방향 광자 성분을 양자 양동이에 의해 영향을 받는 c-수 함수로 간주함으로써 부정적 계량을 피한다. 이와 동시에 음의 상관관계를 가진 확률적 과정이 구타-블류러 형식의 부정적 계량을 재현한다.

ABSTRACT

Quantization of electromagnetic fields is investigated in the framework of stochastic variational method (SVM). Differently from the canonical quantization, this method does not require canonical form and quantization can be performed directly from the gauge invariant Lagrangian. The gauge condition is used to choose dynamically independent variables. We verify that, in the Coulomb gauge condition, SVM result is completely equivalent to the traditional result. On the other hand, in the Lorentz gauge condition, SVM quantization can be performed without introducing the indefinite metric. The temporal and longitudinal components of the gauge filed, then, behave as c-number functionals affected by quantum fluctuation through the interaction with charged matter fields. To see further the relation between SVM and the canonical quantization, we quantize the usual gauge Lagrangian with the Fermi term and argue a stochastic process with a negative second order correlation is introduced to reproduce the indefinite metric.

연구 동기 및 목표

• SVM이 캐논ical 쌍 변수가 필요 없이 게이지 불변 라그랑지안에서 직접 게이지 장을 양자화할 수 있는지 테스트하는 것.
• SVM이 쿨롱 게이지에서 표준 결과를 재현할 수 있는지 조사하는 것. 이 경우 캐논ical 양자화와 일치한다.
• SVM이 구타-블류러 형식에서 사용하는 부정적 계량을 도입하지 않고도 로렌츠 게이지 조건을 다룰 수 있는지 탐색하는 것. 이 경우 시간적 및 종방향 성분을 c-수 함수로 간주한다.
• SVM 내에서 구타-블류러 형식의 부정적 계량을 모델링하기 위해 확률적 과정을 확장하는 것.
• 특히 게이지 대칭성과 그린 함수에 관해 SVM의 수학적 및 물리적 일관성을 검토하는 것.

제안 방법

• 주기적 경계 조건을 가진 3차원 공간 격자에 전자기 라그랑지안 밀도를 이산화하여 장 구성을 확률 변수로 다룬다.
• 앞서와 뒤로의 시간 도함수(D 및 D̃)를 사용한 확률적 변분 원리를 적용하여 게이지 장에 대한 확률적 오일러-라그랑주 방정식을 유도한다.
• 게이지 조건(쿨롱 또는 로렌츠)을 도입하여 물리적으로 의미 없는 자유도를 제거하고, 운동 변수를 식별한다.
• 로렌츠 게이지에서 부정적 계량을 재현하기 위해 음의 이阶 상관관계를 가진 확률적 과정을 도입하여 음의 노름 상태의 존재를 가능하게 한다.
• 파인먼의 인과 경계 조건을 사용하여 그린 함수를 계산하고 캐논ical 결과와의 일치를 검증한다.
• 결과로 얻어진 양자 역학적 동역학을 분석하며, 특히 전하를 띤 물질 장에 의해 영향을 받는 시간적 및 종방향 광자 성분이 c-수 함수로 행동하는 방식을 다룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확률적 변분법(SVM)은 캐논ical 쌍 변수가 필요 없이 게이지 불변 라그랑지안에서 직접 전자기장을 양자화할 수 있는가?
• RQ2 SVM은 쿨롱 게이지에서 캐논ical 양자화의 표준 결과를 재현하는가?
• RQ3 SVM은 로렌츠 게이지 조건을 어떻게 다루며, 구타-블류러 형식에서 사용하는 부정적 계량을 피할 수 있는가?
• RQ4 음의 이阶 상관관계를 가진 확률적 과정을 사용하여 SVM 내에서 부정적 계량을 모델링할 수 있는가? 이는 구타-블류러 형식의 음의 노름 상태를 재현할 수 있는가?
• RQ5 전하를 띤 물질 장이 SVM 프레임워크 내에서 게이지 장의 시간적 및 종방향 성분에 양자 양동이를 유도하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 쿨롱 게이지에서는 SVM의 양자화가 캐논ical 양자화와 정확히 일치하여 기존 방법과의 일관성을 확인한다.
• 로렌츠 게이지에서는 게이지 장의 시간적 및 종방향 성분이 전하를 띤 물질 장의 양자 양동이에 의해 영향을 받는 c-수 함수로 행동하여 부정적 계량이 필요 없음을 보여준다.
• 표준 파인먼 전파함수(S)는 SVM에서 그린 함수로서 재현되어 이론의 인과적 구조가 검증된다.
• 음의 이阶 상관관계를 가진 확률적 과정이 도입되어 부정적 계량을 모델링하고, SVM 내에서 음의 노름 상태의 존재를 가능하게 하였다.
• 확률적 변분 접근법은 양자 수준에서 게이지 대칭성을 유지하며, 이는 기본적인 게이지 구조와의 호환성을 시사한다.
• 확률적 변수가 서로 교환 가능하므로 연산자 순서의 모호성이 없으며, 이는 캐논ical 양자화에 비해 뚜렷한 이점이다.