[논문 리뷰] Stopping games in continuous time

Rida Laraki, Eilon Solan|ArXiv.org|2003. 06. 19.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 지ay된 가정 하에, 두 명의 플레이어가 참가하는 연속시간 제로섬 정지게임에서 랜덤화된 정지 시점에 대해 값의 존재성을 확립한다: 지급 과정은 오른쪽 연속성과 점진적으로 측정 가능하다. 이는 이전 결과들이 요구했던 제한적인 조건들(예: 조건 C 또는 반정적 마틴갈 조건)을 제거함으로써 크게 일반화된 결과이다. 또한, 두 플레이어 모두 순수 정지 시점의 미세한 변형인 $\varepsilon$-최적 전략을 갖는다.

ABSTRACT

We study two-player zero-sum stopping games in continuous time and infinite horizon. We prove that the value in randomized stopping times exists as soon as the payoff processes are right-continuous. In particular, as opposed to existing literature, we do not assume any conditions on the relations between the payoff processes. We also show that both players have simple epsilon- optimal randomized stopping times; namely, randomized stopping times which are small perturbations of non-randomized stopping times.

연구 동기 및 목표

• 연속시간 두 명의 플레이어가 참가하는 제로섬 정지게임에서 랜덤화된 정지 시점에 대해 값의 존재성을 확립하는 것.
• 이전 문헌에서 요구되었던 제한적인 가정들, 예를 들어 조건 C 또는 반정적 마틴갈 성질을 제거하는 것.
• 순수 정지 시점에 임의로 가까운 $\varepsilon$-최적 전략이 존재함을 보이는 것.
• 누적 지급과 최종 지급을 모델에 통합하여, 표준 정지게임 공식과의 동치성을 보이는 것.
• 조건 C를 만족하지 않더라도, Dynkin(1969)의 정신을 따르는 구조적 $\varepsilon$-최적 전략을 제공하는 것.

제안 방법

• 일반 조건을 만족하는 필터링된 확률 공간을 갖는 확률적 프레임워크를 사용한다.
• 세 가지 적응 과정인 $a_t$, $b_t$, $c_t$를 정의하여 각각 플레이어 1, 플레이어 2, 동시 정지에 대한 지급을 나타낸다.
• 작은 이격을 갖는 순수 정지 시점의 변형인 $\varepsilon$-최적 랜덤화된 정지 시점을 구성하기 위해 편향화 방법을 적용한다.
• 최종 또는 누적 지급이 존재하는 문제를 조건부 기대 또는 통합 과정을 통해 조정된 지급 과정을 통해 표준 정지게임 문제로 환원한다.
• 측정 가능 선택 원리와 오른쪽 연속성을 활용하여, 최소한의 정규성 조건 하에서도 최적 전략의 존재를 보장한다.
• $\varepsilon$-균형과 랜덤화된 정지 시점을 활용하여, 경로별 정규성 조건이 오른쪽 연속성 이외에는 필요 없이 값의 존재성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지급 과정이 오직 오른쪽 연속성과 점진적으로 측정 가능할 경우, 연속시간 정지게임에서 랜덤화된 정지 시점에 대해 값이 존재하는가?
• RQ2 조건 C를 만족하지 않더라도, 순수 정지 시점에 임의로 가까운 $\varepsilon$-최적 전략을 구성할 수 있는가?
• RQ3 최종 지급 $\chi$ 또는 누적 지급 $x_t$를 정지게임 프레임워크에 통합할 수 있는 방법은 무엇이며, 이로 인해 값의 존재성이 손상되지 않는가?
• RQ4 순수 전략에서 값이 존재하는 조건는 무엇인가?
• RQ5 반정적 마틴갈 또는 유계 변동성 성질을 가정하지 않고도 일반적인 점진적으로 측정 가능한 과정에 대해 결과를 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 연속시간 정지게임에서 $a_t$와 $b_t$가 오른쪽 연속이고 $c_t$가 점진적으로 측정 가능하면, 랜덤화된 정지 시점에서 값이 존재한다.
• 두 플레이어 모두 순수 정지 시점의 미세한 변형인 $\varepsilon$-최적 전략을 갖는다. 즉, 충분히 작은 $\delta > 0$ 에 대해, $[\mu, \mu + \delta]$ 구간에서 확률 1로 정지한다.
• $c_t \in \mathrm{co}\{a_t, b_t\}$ 이 모든 $t \in [0, \tau]$ 에 대해 성립하면, 값은 순수 전략에서 존재한다. 플레이어 1의 $\varepsilon$-최적 정지 시점은 $\inf\{t \geq 0 : V_t^* \leq a_t^* + \varepsilon\}$ 이고, 플레이어 2의 경우 $\inf\{t \geq 0 : V_t^* \geq b_t^* - \varepsilon\}$ 이다.
• $c_0 \in \mathrm{co}\{a_0, b_0\}$ 이고 모든 과정이 연속일 경우, 게임은 순수 전략에서 값이 존재한다.
• 최종 지급 $\chi$ 또는 누적 지급 $x_t$를 포함하는 경우, 조건부 기대 또는 통합 과정을 통해 지급 과정을 조정함으로써 표준 정지게임 프레임워크로 환원할 수 있다.
• $\varepsilon$-최적 전략의 구성은 강건하며, 지급 과정이 조건 C를 만족하거나 반정적 마틴갈이 아니어도 된다.