[논문 리뷰] Stratifications and foliations for good reductions of Shimura varieties of Hodge type

Chao Zhang|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 26.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 26인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 $p > 2$에서 히지프 타입 쇤마 다양체의 양호한 환원에 대해, foliation 이론과 level $m$-stratification 이론을 확장하며, 토르서르와 절단된 디스플레이 사이의 관계를 구축함으로써 이를 달성한다. 뉴턴 스트라타에 대한 차원 공식을 수립한다: $\dim \mathscr{S}_0^b = \langle \rho, \mu + \nu(b) \rangle - \frac{1}{2}\mathrm{def}(b)$, 이는 PEL 및 시에겔 케이스의 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

Level $m$-stratifications on PEL Shimura varieties are defined and studied by Wedhorn using BT-$m$s with PEL structure, and then by Vasiu for general Hodge type Shimura varieties using Shimura $F$-crystals. The theory of foliations is established by Oort for Siegel modular varieties, and by Mantovan for PEL Shimura varieties. It plays an important role in Hamacher's work to compute the dimension of Newton strata of PEL Shimura varieties. We study level $m$ stratifications on good reductions at $p>2$ of Shimura varieties of Hodge type by constructing certain torsors together with equivariant morphisms, and relating them to truncated displays. We then use the results obtained to extend the theory of foliations to these reductions. As a consequence, combined with results of Nie and Zhu, we get a dimension formula for Newton strata.

연구 동기 및 목표

• PEL 및 시에겔 쇤마 다양체에 대해 이전에 알려진 foliation 이론을 $p > 2$에서의 히지프 타입 쇤마 다양체의 양호한 환원으로 확장하기 위해.
• 토르서르와 절단된 디스플레이를 사용하여 이러한 환원에서의 level $m$-stratification을 연구함으로써, 새로운 기하학적 및 군론적 프레임워크를 제공하기 위해.
• 히지프 타입 쇤마 다양체에서 뉴턴 스트라타에 대한 차원 공식을 수립하기 위해, 니, 주 등 이전의 결과를 바탕으로 하기 위해.
• 중앙 잎새가 각 뉴턴 스트라타 내에서 매끄럽고 국소적으로 닫혀 있으며, 일관된 차원을 가지며, 그 고전적 대응체에서 열려 있고 닫혀 있음을 증명하기 위해.

제안 방법

• 바시우의 연구에서 유래한 군 스킴를 사용하여, 양호한 환원 $\mathscr{S}_0$ 및 그 특수 섬유 $\mathscr{S}_{0,\overline{\kappa}}$ 위에 토르서르를 구성하기 위해.
• level $m$-스트라타와 추가 구조를 가진 절단된 디스플레이 사이의 사상 $\zeta_m$를 정의하여, 이를 딜로르망 크리스탈 및 $F$-크리스탈과 연결하기 위해.
• 문헌 [19]의 절단된 디스플레이 이론을 사용하여 추가 구조를 가진 $p$-나누어지는 군을 매개화함으로써, BT-$m$ 유형에 대한 명시적 제어를 가능하게 하기 위해.
• 확장 및 군론적 설정에 관한 결과를 적용하여, 심플렉틱 임bedding의 독립성과 이소지 유형과의 호환성을 보여주기 위해.
• 아이구사 타워를 구성하고 유한 사상들을 사용하여 $J_{b,m} \times \overline{\mathbb{M}}^{n,d}$ 와 뉴턴 스트라타 사이의 관계를 설정함으로써, 거의 곱의 구조를 확립하기 위해.
• 사상들의 유한성과 준유한성에 기반하여, [48] 및 [21]의 차원 공식을 활용하여 차원을 계산하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 PEL에서 일반적인 히지프 타입 쇤마 다양체로의 foliation 이론을 $p > 2$에서 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 히지프 타입 쇤마 다양체의 양호한 환원에서 level $m$-스트라타의 기하학적 구조는 어떠한가?
• RQ3 중앙 잎새와 뉴턴 스트라타는 차원과 닫힘 성질 측면에서 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 토르서르와 절단된 디스플레이를 사용하여 히지프 타입 케이스에서 뉴턴 스트라타에 대한 통일된 차원 공식을 유도할 수 있는가?
• RQ5 아이구사 타워와 $J_{b,m}$-행동은 뉴턴 스트라타의 거의 곱의 구조를 어떻게 실현하는가?

주요 결과

• 각 level $m$-스트라타 $\mathscr{S}_0^s$ 는 $\mathscr{S}_{0,\overline{\kappa}}$ 의 매끄럽고 국소적으로 닫힌 부분 스킴이며, 그 닫힘은 level $m$-스트라타의 합집합이다.
• BT-$m$ 과 추가 구조를 가진 것이 $T$ 위에서 일정해지는, $\mathscr{S}_0^s$ 에 대한 준유한 fppf 코팅 $T \to \mathscr{S}_0^s$ 가 존재한다.
• 각 level $m$-스트라타는 그 고전적 level $m$-스트라타에서 열려 있고 닫혀 있으며, 충분히 큰 $m$ 에서는 모든 level $m$-스트라타가 중심 잎새와 일치한다.
• 각 중심 잎새 $\mathscr{S}_0^c$ 는 매끄럽고 국소적으로 닫혀 있으며, 그 닫힘은 중심 잎새의 합집합이다; 포함 사상 $\mathscr{S}_0^c \hookrightarrow \overline{\mathscr{S}_0^c}$ 는 아핀 매장이다.
• 주어진 뉴턴 스트라타 $\mathscr{S}_0^b$ 내의 모든 중심 잎새는 동일한 차원 $\langle 2\rho, \nu_G(b) \rangle$ 을 가진다.
• 뉴턴 스트라타 $\mathscr{S}_0^b$ 의 차원은 공식 $\dim \mathscr{S}_0^b = \langle \rho, \mu + \nu(b) \rangle - \frac{1}{2}\mathrm{def}(b)$ 로 주어지며, 이는 거의 곱의 구조와 차원의 가산성에서 유도된다.