[논문 리뷰] Stream cipher based on quasigroup string transformations in $Z_p^*$

Danilo Gligoroski|ArXiv.org|2004. 03. 30.

Coding theory and cryptography참고 문헌 20인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 대량의 소수 p에 대해 다항식 방정식의 다변수 시스템을 푸는 것과 같은 NP-난이도 문제의 난이도를 갖는 암호 보안을 확보하기 위해 곱셈군 ℤₚ* 내에서 쿼아지그룹 문자열 변환을 활용하는 새로운 공개키 스트림 암호를 제안한다. 단일 치환을 사용하여 순서 p−1인 쿼아지그룹을 정의하고 모듈로 거듭제곱 연산을 피하기 때문에, 대칭키 암호의 속도를 달성하면서도 보안 수준을 유지한다.

ABSTRACT

In this paper we design a stream cipher that uses the algebraic structure of the multiplicative group $\bbbz_p^*$ (where p is a big prime number used in ElGamal algorithm), by defining a quasigroup of order $p-1$ and by doing quasigroup string transformations. The cryptographical strength of the proposed stream cipher is based on the fact that breaking it would be at least as hard as solving systems of multivariate polynomial equations modulo big prime number $p$ which is NP-hard problem and there are no known fast randomized or deterministic algorithms for solving it. Unlikely the speed of known ciphers that work in $\bbbz_p^*$ for big prime numbers $p$, the speed of this stream cipher both in encryption and decryption phase is comparable with the fastest symmetric-key stream ciphers.

연구 동기 및 목표

• 공개키 시스템의 키 교환 유연성과 대칭키 암호의 빠른 속도를 결합한 공개키 스트림 암호를 설계하기.
• 기존 공개키 스트림 암호의 성능 저하 문제를 해결하기. 기존에는 모듈로 거듭제곱 연산으로 인해 대칭키 암호보다 약 1000배 느린 경향이 있다.
• ℤₚ*의 대수적 구조와 쿼아지그룹을 활용하여, 큰 소수 p에 대해 다항식 시스템을 푸는 것의 난이도에 기반한 보안을 갖춘 암호를 창출하기.
• 모듈로 거듭제곱 연산을 대체하여 모듈로 곱셈과 역원 연산을 사용함으로써 효율적인 암호화 및 복호화를 가능하게 하며, 블록당 O(k log²p) 복잡도를 달성하기.

제안 방법

• 암호는 곱셈군 ℤₚ* 내에서 엘가말 키 교환 프로토콜을 사용하여 초기화된다.
• 곱셈표의 첫 번째 행(치환)만을 사용하여 순서 p−1인 쿼아지그룹을 정의함으로써, 전체 표를 저장할 필요 없이 빠르게 구성할 수 있다.
• 암호화 및 복호화는 각 평문 블록이 쿼아지그룹 연산의 시퀀스를 통해 변환되는 쿼아지그룹 문자열 변환을 통해 수행된다.
• 변환 과정은 키에서 파생된 비밀 매개변수인 '리더'의 집합에 의해 정의된 쿼아지그룹 연산을 반복적으로 적용하는 방식이다.
• 모듈로 거듭제곱 연산을 피하고, 블록당 O(k log²p)의 모듈로 곱셈 및 역원 연산에 의존함으로써 고속 성능을 달성한다.
• 메시지 인코딩을 효율적으로 하기 위해 pₗ = 2⁸ˡ + 3 형태의 소수를 제안하며, p₂₅₁(2008비트)와 같은 큰 값은 암호 보안 강도를 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공개키 스트림 암호를 설계하여 대칭키 암호와 유사한 성능을 달성하면서도 공개키 보안 특성을 유지할 수 있는가?
• RQ2 ℤₚ* 내에서 쿼아지그룹 문자열 변환에 기반한 스트림 암호의 보안은 큰 소수 p에 대해 다항식 시스템을 푸는 것과 동치인가?
• RQ3 단일 치환을 사용하여 순서 p−1인 쿼아지그룹을 전체 곱셈표를 저장하지 않고도 효율적으로 구성할 수 있는가?
• RQ4 암호를 해독하는 데 필요한 계산 복잡도는 무엇이며, 이는 계산 수학 이론에서 알려진 난이도 높은 문제와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 2⁸ˡ + 3 형태의 소수를 사용하면 메시지 확장률을 줄이고 실질적으로 인코딩 효율을 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 스트림 암호는 각 블록당 O(k log²p) 복잡도를 가지며, 가장 빠른 대칭키 스트림 암호와 유사한 암호화 및 복호화 속도를 달성한다.
• 암호의 보안은 큰 소수 p에 대해 다항식 시스템을 푸는 것과 동치이며, 이는 아직 효율적인 랜덤 또는 결정적 알고리즘이 알려져 있지 않은 NP-난이도 문제이다.
• 단일 치환을 사용하여 순서 p−1인 쿼아지그룹을 정의함으로써 전체 곱셈표를 저장할 필요 없이 효율적인 구성이 가능하다.
• 기존의 엘가말과 같은 전통적인 공개키 시스템과 비교해 모듈로 거듭제곱 연산을 피함으로써 계산 오버헤드를 크게 감소시켰다.
• pₗ = 2⁸ˡ + 3 형태의 소수, 예를 들어 p₂₅₁(2008비트)는 메시지 확장률을 최소화하고 큰 블록의 효율적 인코딩을 지원하기 위해 제안된다.
• 여러 명의 리더를 사용할 경우에도 암호는 여전히 안전하며, 이로 인해 다항식 방정식 시스템이 점점 더 복잡하고 해석 불가능해지기 때문이다.