[논문 리뷰] Strengths and Weaknesses of Quantum Computing

Charles H. Bennett, Ethan Bernstein외 2명|1997. 01. 01.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 랜덤 오라클에 대해, NP 문제가 o(2^{n/2}) 시간 이내에 양자 Turning 기계로 해결될 수 없음을 증명함으로써 양자 계산의 한계를 조사한다. 또한 co-NP ∩ NP는 o(2^{n/3}) 시간 이내에 해결될 수 없다. 이 경계는 Grover의 알고리즘 덕분에 날카롭게 맞춰지며, 이는 NP에 대해 O(2^{n/2})를 달성함으로써 양자 속도 향상의 한계를 보여주고, 이 모델 하에서 NP-완전 문제에 대해 다항 시간 해결이 불가능하다는 것을 시사한다.

ABSTRACT

Recently a great deal of attention has focused on quantum computation following a sequence of results suggesting that quantum computers are more powerful than classical probabilistic computers. Following Shor's result that factoring and the extraction of discrete logarithms are both solvable in quantum polynomial time, it is natural to ask whether all of NP can be efficiently solved in quantum polynomial time. In this paper, we address this question by proving that relative to an oracle chosen uniformly at random, with probability 1, the class NP cannot be solved on a quantum Turing machine in time $o(2^{n/2})$. We also show that relative to a permutation oracle chosen uniformly at random, with probability 1, the class $NP \cap coNP$ cannot be solved on a quantum Turing machine in time $o(2^{n/3})$. The former bound is tight since recent work of Grover shows how to accept the class NP relative to any oracle on a quantum computer in time $O(2^{n/2})$.

연구 동기 및 목표

• 양자 컴퓨터가 NP-완전 문제를 효율적으로 해결할 수 있는지 여부를 규명하는 것.
• 클래식 확률적 기계에 비해 양자 Turning 기계의 계산 능력을 조사하는 것.
• 비국소 모델 하에서 NP 및 NP ∩ co-NP 문제를 해결하기 위해 필요한 최소 시간의 하한을 설정하는 것.
• 특히, 양자 컴퓨터가 NP-완전 문제를 다항 시간 내에 해결할 수 있는지 여부를 포함해 BQP와 NP의 관계를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 랜덤 오라클을 사용한 비국소 복잡도 이론을 적용하여 양자 계산의 한계를 분석하는 것.
• 양자 오라클 모델을 사용해 양자 Turning 기계(QTM)를 시뮬레이션하고 질의 복잡도를 분석하는 것.
• 양자 질의 복잡도와 진폭 강화 기법을 활용해 하한을 유도하는 것.
• 하이브리드 방법과 양자 반대자 방법을 사용해 NP 및 NP ∩ co-NP에 대한 질의 복잡도 하한을 증명하는 것.
• 주어진 기계를 중첩 상태에서 k번 반복 실행하는 양자 Turning 기계를 구성하는 것. 이는 다이아몬드화와 가역 계산을 활용한다.
• 유니터리 진동과 내적 보존을 활용해 양자 알고리즘에서 고정밀도 출력 상태를 보장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 컴퓨터는 NP-완전 문제를 다항 시간 내에 해결할 수 있는가?
• RQ2 랜덤 오라클에 대해, 양자 Turning 기계가 NP 문제를 해결하기 위해 필요한 최소 시간은 얼마인가?
• RQ3 NP 문제에 대한 양자 속도 향상에 본질적인 한계가 존재하는가? 만약 그렇다면 그 한계는 무엇인가?
• RQ4 NP의 양자 질의 복잡도는 클래식 확률적 계산에 비해 어떻게 비교되는가?
• RQ5 양자 알고리즘은 NP 문제에 대해 O(2^{n/2}) 이하의 질의 복잡도를 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 균일하게 랜덤 오라클에 대해, NP 문제는 o(2^{n/2}) 시간 이내에 양자 Turning 기계로 해결될 수 없다.
• 균일하게 랜덤 순열 오라클에 대해, NP ∩ co-NP 문제는 o(2^{n/3}) 시간 이내에 해결될 수 없다.
• NP에 대해 o(2^{n/2}) 경계는 날카롭게 맞춰지며, Grover의 알고리즘이 NP 검색에 대해 O(2^{n/2}) 질의 복잡도를 달성하기 때문이다.
• 이 결과는 다항 시간 계층이 붕괴하지 않는 한, 양자 컴퓨터가 NP-완전 문제를 효율적으로 해결할 수 없다는 것을 시사한다.
• 논문은 랜덤 오라클에 대해 BQP가 BPP에 포함되지 않음을 증명하며, 양자 컴퓨터가 클래식 컴퓨터보다 엄밀히 더 강력할 것이라는 추측을 뒷받침한다.
• 고성공 확률 및 가역 계산을 갖춘 양자 Turning 기계의 구성은 BQP와 같은 양자 복잡도 클래스의 강건성을 확인한다.