[논문 리뷰] Strict Physicality of Global Weak Solutions of a Navier-Stokes Q-tensor System with Singular Potential

Mark Wilkinson|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 26.

Liquid Crystal Research Advancements참고 문헌 17인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 Q-텐서의 고유값이 물리적 구간 내에 유지되도록 제약을 가하는 특이 잠재력이 있는 나비에-스토크스 Q-텐서 시스템에 대해 시간에 대해 전역적인 약한 해의 존재를 확립한다. 볼-마주마르 잠재력의 볼록성과 비교 원리를 활용하여 2차원에서의 고차 정(regularity)과 강한 수렴을 보장하는 균일한 유계성을 입증함으로써, 해들이 물리적으로 타당함을 확인한다.

ABSTRACT

We study the existence, regularity and so-called `strict physicality' of weak solutions of a coupled Navier-Stokes Q-tensor system which is proposed as a model for the incompressible flow of nematic liquid crystal materials. An important contribution to the dynamics comes from a singular potential introduced by John Ball and Apala Majumdar (Nematic Liquid Crystals: From Maier-Saupe to a Continuum Theory, Mol. Cryst. Liq. Cryst., Vol. 525: pp. 1-11, 2010) which replaces the commonly employed Landau-de Gennes bulk potential. This is built into our model to ensure that a natural physical constraint on the eigenvalues of the Q-tensor order parameter is respected by the dynamics of the system.

연구 동기 및 목표

• 특이 잠재력이 있는 결합된 나비에-스토크스 Q-텐서 시스템에 대해 시간에 대해 전역적인 약한 해의 존재를 확립한다. 이 잠재력은 Q-텐서 고유값에 물리적 제약 조건을 부과한다.
• 이러한 약한 해가 '엄격한 물리성'을 만족함을 입증한다. 즉, 모든 시간에 대해 고유값이 물리적으로 허용 가능한 구간 내에 유지됨을 의미한다.
• 특이 잠재력의 물리성과 볼록성을 이용하여 2차원에서 전역 약한 해의 고차 정(regularity)을 입증한다.
• 자르린된 문제와 강한 해를 이용한 엄밀한 근사화 방법을 구성하여, 콤팩트성 추론에 필수적인 균일한 유계성을 도출한다.
• 수렴과 에너지 추정을 통해 극한 약한 해가 물리성 및 정(regularity) 성질을 유지함을 보장한다.

제안 방법

• 대칭이며 추적이 0인 행렬 위에서 정의된 볼-마주마르 특이 잠재력(볼록 함수)을 사용하여 Q-텐서의 고유값이 물리적 구간 내에 유지되도록 보장한다.
• 유한차원 절단을 이용한 갈레르킨 근사화 방법을 적용하여 근사 해 $ Q^{(M)} $ 및 $ u^{(M)} $를 구성하고, 정규화된 형태의 시스템을 푸는다.
• 유사한 포물형 시스템의 강한 해 $ R^{(M)} $와 근사 해 $ Q^{(M)} $ 사이의 비교 원리를 적용하여 $ L^rown ext{infty} $ 유계성을 유도한다.
• 근사 해에 대해 $ abla u^{(M)} $, $ abla riangle Q^{(M)} $ 및 비선형 항을 포함하는 고차 에너지 항등식을 유도하고, 미분 부등식을 도출한다.
• 라드잔스카야의 부등식과 $ abla u^{(M)} $, $ abla Q^{(M)} $, $ riangle Q^{(M)} $의 균일한 유계성으로 비선형 항을 제어하고, 그로 인해 그로워발 유형의 추정을 유도한다.
• 아불린-라온스 콤팩트성 원리를 적용하여 $ L^2_t H^2_x $ 및 $ L^2_t H^1_{ ext{div}} $ 에서 강한 수렴하는 부분수열을 추출함으로써, 극한이 약한 의미에서 시스템을 만족함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특이 잠재력이 Q-텐서 고유값에 물리적 제약 조건을 부과하는 나비에-스토크스 Q-텐서 시스템에 대해 시간에 대해 전역적인 약한 해를 구성할 수 있는가?
• RQ2 볼-마주마르 특이 잠재력의 사용이 약한 해가 항상 물리적 구간 내에 있는 엄격한 물리성을 보장하는가?
• RQ3 물리성과 잠재력의 볼록성을 활용하여 2차원에서 전역 약한 해의 고차 정(regularity)을 확립할 수 있는가?
• RQ4 근사 해에 대해 어떤 균일한 유계성을 도출할 수 있으며, 이는 극한에서 약한 해로의 수렴을 보장하는가?
• RQ5 에너지 추정과 비교 원리를 결합하여 비선형 항을 제어하고, 에너지 함수에 대해 그로워발 유형의 부등식을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 2차원 또는 3차원 토러스 위에서 특이 볼-마주마르 잠재력이 있는 나비에-스토크스 Q-텐서 시스템에 대해 시간에 대해 전역적인 약한 해가 존재한다.
• 약한 해는 엄격한 물리성을 만족한다. 잠재력 $ \rho $ 의 볼록성 덕분에 $ Q(\bullet,t) $ 의 고유값이 모든 $ t > 0 $ 에서 물리적 구간 내에 유지된다.
• 근사 해 $ Q^{(M)} $ 는 $ L^rown ext{infty}_t H^2_x \times L^2_t H^3_x $ 에서 균일하게 유계이며, $ u^{(M)} $ 는 $ L^rown ext{infty}_t H^1_{\text{div}} \times L^2_t H^2_{\text{div}} $ 에서 $ M $ 에 대해 균일하게 유계이다.
• 에너지 함수 $ \frown\text{F}^{(M)} $ 는 미분 부등식 $ \frac{d}{dt}\frown\text{F}^{(M)} \triangleq C_0 (\frown\text{F}^{(M)})^2 + C_1 $ 를 만족하며, 그로워발 부등식을 통해 균일한 유계성을 도출할 수 있다.
• 아불린-라온스 콤팩트성 원리를 통해 $ Q^{(M)} $ 가 $ L^2_t H^2_x $ 와 $ u^{(M)} $ 가 $ L^2_t H^1_{\text{div}} $ 에서 강한 수렴함을 입증하여, 극한이 약한 의미에서 시스템을 만족함을 보장한다.
• 2차원에서는 엄격한 물리성과 균일한 유계성이 고차 정(regularity)을 유도하며, 해가 $ H^2 $ 와 $ H^3 $ 노름에서 균일하게 유계이므로 전역 약한 해의 고차 정(regularity)이 보장된다.