[논문 리뷰] Strictly homotopy invariance of Nisnevich sheaves with GW-transfers

Andrei Druzhinin|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 18.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 12인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 특성 ≠ 2인 완전체 k 위에서 호모토피 불변 준층에 대한 GW-전이를 지닌 준층과 관련된 Nisnevich 층의 엄밀한 호모토피 불변성을 확립한다. 명시적 대응 구조와 스펙트럴 시퀀스 추론을 통해, 코homology 군이 $ H^i_{ ext{Nis}}(bA^1 imes X, ilde{F}_{ ext{Nis}}) \to H^i_{ ext{Nis}}(X, ilde{F}_{ ext{Nis}}) $를 만족함을 증명하며, 이는 Voevodsky-Suslin 방법을 통해 GW-모티브의 삼각 범주 $\mathbf{DM}^{GW}(k)$를 구성하는 데 필수적이다.

ABSTRACT

The strictly homotopy invariance of the associated Nisnevish sheave $\widetilde{\mathcal F}_{Nis}$ of a homotopy invariant presheave $\mathcal F$ with GW-transfers (or Witt-transfers) on the category of smooth varieties over a prefect field $k$, $char\,k eq 2$, is proved, i.e. the isomorphism $$H^i_{Nis}(\mathbb A^1 imes X,\widetilde{\mathcal F}_{Nis})\simeq H^i_{Nis}(X,\widetilde{\mathcal F}_{Nis})$$ for any $X\in Sm_k$ is obtained. This theorem is necessary for the construction of the triangulated category of GW-motives $\mathbf{DM}^{GW}(k)$ and Witt-motives $\mathbf{DM}^W(k)$ by the Voevodsky-Suslin method originally used for the construction of the category of motives $\mathbf{DM}(k)$. In particular, the result of the article gives the direct prove of the strictly homotopy invariance of the Nisnevich sheaves associated to hermitian K-theory and Witt-groups (without using of the representability of these cohomology theories in the motivic homotopy category $\mathbf H_{\mathbb A^1}(k)$ proved by Hornbostle [Horn_ReprKOWitt]); and on other side the strictly homotopy invariance theorem proved here and the representability criteria proved in [Horn_ReprKOWitt] implies that cohomologies $H^i_{nis}(-,\widetilde{\mathcal F}_{nis})$ of the associated sheaf of a homotopy invariant presheave with GW-(Witt-)transfers $\mathcal F$ are representable in $\mathbf H_{\mathbb A^1}(k)$.

연구 동기 및 목표

• 특성 ≠ 2인 완전체 $k$ 위에서 호모토피 불변 준층에 대한 GW-전이를 지닌 준층과 관련된 Nisnevich 층의 엄밀한 호모토피 불변성을 확립하는 것.
• 모티브 호모토피 범주 $\mathbf{H}_{\bbA^1}(k)$에서의 표현 가능성에 의존하지 않고, 헤르미트 K-이론과 윌트 군에 관련된 층에 대한 호모토피 불변성을 직접적으로 증명하는 것.
• Voevodsky-Suslin 방법을 통해 GW-모티브의 삼각 범주 $\mathbf{DM}^{GW}(k)$를 구성하는 데 기여하는 것.
• 이러한 준층에 관련된 코homology 이론이 모티브 호모토피 범주 $\mathbf{H}_{\bbA^1}(k)$에서 표현 가능하다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• Voevodsky-Suslin 방법을 사용하여 $\mathbf{DM}^{GW}_{\text{eff}}(k)$를 Nisnevich 층의 유도 범주에서 $\bbA^1$-등가를 통한 국소화로 정의한다.
• Dold-Kan 대응을 적용하여 $\tilde{\fF}_{\text{Nis}}$의 임베디드 해상 $\mathcal{I}^\bullet$에 대해 단순 복합체 $\mathcal{I}_s$를 부여함으로써 Nisnevich-Mayer-Viertoris 성질과 호모토피 불변성을 보장한다.
• 사영 사상 $X \times \bbG_m \to X$에 대한 Leray 스펙트럴 시퀀스를 적용하여 $X \times \bbA^1$ 위의 코homology를 분석하고, 고차원 직접 이미지의 소멸으로 인해 시퀀스가 분해됨을 보인다.
• Nisnevich 이웃을 구성하고 차원에 대한 귀납법을 사용하여 $X \times \bbA^1/0$ 위의 코homology 소멸을 증명하며, 닫힌 부분다양체와 일반점의 구조에 의존한다.
• Nisnevich 이웃과 헨젤라이제이션 정리들을 적용하여 점에서의 층의 껍질을 비교하고, 코homology 군에서의 동형을 증명한다.
• 자연스러운 함자 $GWCor \to WCor$를 통해 결과를 윌트-전이로 확장하여, 윌트-모티브에 대해 유사한 결과를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 ≠ 2인 완전체 $k$ 위에서, 호모토피 불변 준층에 대한 GW-전이를 지닌 Nisnevich 층이 엄밀한 호모토피 불변성을 만족하는가, 즉 모든 매끄러운 $X$에 대해 $H^i_{\text{Nis}}(\bbA^1 \times X, \tilde{\fF}_{\text{Nis}}) \simeq H^i_{\text{Nis}}(X, \tilde{\fF}_{\text{Nis}})$ 가 성립하는가?
• RQ2 이러한 층의 엄밀한 호모토피 불변성은 모티브 호모토피 범주 $\mathbf{H}_{\bbA^1}(k)$에서의 표현 가능성에 의존하지 않고 직접적으로 증명될 수 있는가?
• RQ3 GW-전이에 관련된 코homology 이론(예: 고차 헤르미트 K-이론)은 이 불변성 조건이 성립할 경우 $\mathbf{H}_{\bbA^1}(k)$에서 표현 가능한가?
• RQ4 GW-전이에 사용된 방법들이 윌트-전이로 얼마나 일반화될 수 있으며, 이 맥락에서 함자 $GWCor \to WCor$의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 특성 ≠ 2인 완전체 $k$ 위에서 매끄러운 모든 $X$에 대해, 관련 층 $\tilde{\fF}_{\text{Nis}}$의 Nisnevich 코homology는 엄밀한 호모토피 불변성을 만족한다: $H^i_{\text{Nis}}(\bbA^1 \times X, \tilde{\fF}_{\text{Nis}}) \simeq H^i_{\text{Nis}}(X, \tilde{\fF}_{\text{Nis}})$.
• 이 결과는 헤르미트 K-이론과 윌트 군에 관련된 층에 대한 엄밀한 호모토피 불변성을, Hornbostel의 $\mathbf{H}_{\bbA^1}(k)$ 내 표현 가능성 결과에 의존하지 않고 직접적으로 증명한다.
• 층 $\tilde{\fF}_{\text{Nis}}$의 코homology 준층은 Dold-Kan 대응과 관련된 단순 복합체의 호모토피 불변성에 의해, 모티브 호모토피 범주 $\mathbf{H}_{\bbA^1}(k)$에서 표현 가능하다.
• 이 증명은 닫힌 부분다양체의 차원에 대한 귀납법과 Nisnevich 이웃의 사용에 기반하여, 코homology 소멸을 일반점에서의 껍질로 환원한다.
• $pr: X \times \bbG_m \to X$에 대한 스펙트럴 시퀀스는 분해되며, 이는 $H^i(X, \tilde{\fF}_{\text{Nis}}) \simeq H^i(X, \tilde{\fF}_{\text{Nis}}|_{U})$를 이끌어내어 호모토피 불변성을 뒷받침한다.
• 자연스러운 함자 $GWCor \to WCor$를 통해 결과는 윌트-전이로 확장되며, 이는 윌트-층에 대해 유사한 엄밀한 호모토피 불변성을 암시한다.