[论文解读] String topology and configuration spaces of two points

Florian Naef, Thomas Willwacher|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用 8

一句话总结

本文通过使用两点配置空间和庞加莱对偶性模型，构建了闭流形的自由循环空间上同调的弦拓扑运算——特别是查斯-辛格积、戈雷茨基-辛格斯通余积以及$IBL_{\lceil\text{infty}\rceil}$-结构——的代数模型。关键贡献在于证明了余括号不仅反映有理同伦型，还检测到流形结构的几何信息，且微分同胚群$\lceil\text{Diff}(M)\rceil$的作用无法通过$\lceil\text{aut}(M)\rceil$分解，从而表明弦拓扑包含超越同伦不变量的几何信息。

ABSTRACT

Given a closed manifold $M$. We give an algebraic model for the Chas-Sullivan product and the Goresky-Hingston coproduct. In the simply-connected case, this admits a particularly nice description in terms of a Poincaré duality model of the manifold, and involves the configuration space of two points on $M$. We moreover, construct an $IBL_\infty$-structure on (a model of) cyclic chains on the cochain algebra of $M$, such that the natural comparison map to the $S^1$-equivariant loop space homology intertwines the Lie bialgebra structure on homology. The construction of the coproduct/cobracket depends on the perturbative partition function of a Chern-Simons type topological field theory. Furthermore, we give a construction for these string topology operations on the absolute loop space (not relative to constant loops) in case that $M$ carries a non-vanishing vector field and obtain a similar description. Finally, we show that the cobracket is sensitive to the manifold structure of $M$ beyond its homotopy type. More precisely, the action of ${ m Diff}(M)$ does not (in general) factor through ${ m aut}(M)$.

研究动机与目标

• 通过$M$上两点的配置空间，构建自由循环空间$LM$上同调上查斯-辛格积与戈雷茨基-辛格斯通余积的代数模型。
• 在$M$的上链代数的循环链上定义一个$IBL_{\lceil\text{infty}\rceil}$-结构，使其与$S^1$-等变循环空间同调相容。
• 证明弦余积与余括号不仅依赖于$M$的有理同伦型，还依赖于其流形结构，特别是通过证明$\mathrm{Diff}(M)$的作用无法通过$\mathrm{aut}(M)$分解。
• 在单连通情形下，通过庞加莱对偶性模型与配置空间数据，提供弦拓扑运算的正式代数描述。
• 推测更高阶弦拓扑运算由$\mathsf{FM}_M$作为纤维小圆盘操作族上的模的有理同伦型决定。

提出的方法

• 通过使用$M$上两点的紧化配置空间$\mathsf{FM}_M(2)$及其边界包含映射$UTM \to \mathsf{FM}_M(2)$，对弦积与余积进行建模。
• 基于陈-西蒙斯型拓扑场论的微扰配分函数，在$M$的上链代数的循环链上构造$IBL_{\lceil\text{infty}\rceil}$-结构。
• 模型依赖于配置空间的兰布雷希茨-斯坦利模型与图复形模型，特别是$\mathsf{GC}_M$，以描述配置空间的同伦型。
• 使用重积分将$M$的微分上链代数模型$A$的霍赫希尔德同调与循环同调与$LM$的上同调联系起来，并在单连通情形下建立同构。
• 在$\mathsf{FM}_M(2)$的图模型上构造一个收缩同伦，从而获得共链映射链中同伦的显式公式。
• 通过分析映射$(1 \otimes \epsilon)\delta$的核，证明余括号对微分同胚群作用敏感，从而检测到与$M$相关的自由李代数导子的非平凡发散性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过$M$上两点的配置空间，对$LM$上的查斯-辛格积与戈雷茨基-辛格斯通余积进行代数建模？
• RQ2 $M$的上链代数的循环链上的$IBL_{\lceil\text{infty}\rceil}$-结构是否能正确描述$LM$的$S^1$-等变同调上的李双代数结构？
• RQ3 弦余积与余括号是否对微分同胚群$\mathrm{Diff}(M)$的作用敏感，超越$M$的有理同伦型？
• RQ4 所有更高阶弦拓扑运算是否能被$\mathsf{FM}_M$作为纤维小圆盘操作族$\mathsf{FM}_n^M$上模的有理同伦型完全捕获？
• RQ5 $\mathrm{Diff}(M)$在弦拓扑运算上的作用是否通过$\mathrm{aut}(M)$分解，还是携带额外的几何信息？

主要发现

• 弦余积与余括号通过边界包含映射$UTM \to \mathsf{FM}_M(2)$构造，为这些运算提供了基于配置空间的几何起源。
• 在单连通情形下，弦拓扑运算可通过$M$的庞加莱对偶性模型获得清晰的代数描述，其中配置空间$\mathsf{FM}_M(2)$起核心作用。
• 在$A$的循环链上定义了$IBL_{\lceil\text{infty}\rceil}$-结构，使得与$S^1$-等变循环空间同调的比较映射保持李双代数结构。
• 余括号检测到$M$的流形结构，超越其有理同伦型，因为$\mathrm{Diff}(M)$在余括号上的作用无法通过$\mathrm{aut}(M)$分解，表明其包含非平凡的几何内容。
• $\mathrm{OutDer}^+(\mathbb{L})$上映射$(1 \otimes \epsilon)\delta$的核非平凡，且包含具有非零非交换发散性的元素，为$\pi_*(\mathrm{Diff}(M))$的作用无法通过$\mathrm{aut}(M)$分解提供了障碍。
• 本文推测，所有有理上同调或$LM$上链的更高阶弦拓扑运算，均由$\mathsf{FM}_M$作为纤维小圆盘操作族$\mathsf{FM}_n^M$上模的有理同伦型决定，暗示配置空间与弦拓扑不变量之间存在深层联系。