[论文解读] String topology and the based loop space

Eric Malm|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 37被引用 19

一句话总结

本文建立了闭、连通、定向流形 $ M $ 的链代数 $ C_*\Omega M $ 的 Hochschild上同调与流形 $ M $ 的弦拓扑同调 $ \mathbb{H}_*(LM) $ 之间的 Batalin-Vilkovisky (BV) 代数同构。通过使用以 $ C_*\Omega M $-模为局部系数的导出 Poincaré 对偶性，以及参数谱的 Atiyah 对偶性，作者构造了 $ HH^*(C_*\Omega M) $ 上自然的 BV 结构，该结构与 Chas-Sullivan 圈积和 $ S^1 $-作用相匹配，推广了此前对 $ K(G,1) $-流形的结果。

ABSTRACT

For M a closed, connected, oriented manifold, we obtain the Batalin-Vilkovisky (BV) algebra of its string topology through homotopy-theoretic constructions on its based loop space. In particular, we show that the Hochschild cohomology of the chain algebra C_*ΩM carries a BV algebra structure isomorphic to that of the loop homology $\mathbb{H}_*(LM)$. Furthermore, this BV algebra structure is compatible with the usual cup product and Gerstenhaber bracket on Hochschild cohomology. To produce this isomorphism, we use a derived form of Poincaré duality with C_*ΩM-modules as local coefficient systems, and a related version of Atiyah duality for parametrized spectra connects the algebraic constructions to the Chas-Sullivan loop product.

研究动机与目标

• 建立闭、连通、定向流形 $ M $ 的 Hochschild 上同调 $ HH^*(C_*\Omega M) $ 上自然的 BV 代数结构。
• 证明该 BV 结构同构于 $ \mathbb{H}_*(LM) $ 上的 Chas-Sullivan 弦拓扑 BV 代数。
• 证明 BV 算子源自以 $ C_*\Omega M $-模为局部系数的导出 Poincaré 对偶性的形式。
• 通过参数谱与 Atiyah 对偶性，将弦拓扑中的圈积与 $ C_*\Omega M $-系数下的 $ H_*(M) $ 上的交积联系起来。
• 通过使用 $ C_*\Omega M $ 作为基础代数，将先前在 $ K(G,1) $-流形上建立的弦拓扑与 Hochschild 上同调之间的同构关系推广至一般流形。

提出的方法

• 使用以 $ C_*\Omega M $-模为局部系数系统的导出 Poincaré 对偶性，构造对偶同构 $ D: HH^*(C_*\Omega M) \to HH_{*+d}(C_*\Omega M) $。
• 应用参数谱的 Atiyah 对偶性，将代数构造与几何的 Chas-Sullivan 圈积联系起来。
• 将 $ HH^*(C_*\Omega M) $ 上的 BV 算子定义为 $ -D^{-1}BD $，其中 $ B $ 是 Hochschild同调中的 Connes 算子。
• 证明 $ HH^*(C_*\Omega M) $ 上得到的 BV 代数结构与标准 Hochschild 上杯积和 Gerstenhaber 李括号相容。
• 利用 Goodwillie 同构 $ HH_*(C_*\Omega M) \cong H_*(LM) $ 与 $ D $ 复合，得到到 $ \mathbb{H}_*(LM) $ 的所需同构。
• 使用 $ A_{\infty} $-模理论与 bar 构造，处理导出函子，并确保在 $ A_{\infty} $-同态下 $ \operatorname{Tor} $ 与 $ \operatorname{Ext} $ 的函子性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Hochschild 上同调 $ HH^*(C_*\Omega M) $ 是否携带一个与弦拓扑同构的自然 Batalin-Vilkovisky 代数结构？
• RQ2 Chas-Sullivan 圈积在 $ \mathbb{H}_*(LM) $ 上是否可由以 $ C_*\Omega M $-模为系数的导出 Poincaré 对偶性导出？
• RQ3 $ HH^*(C_*\Omega M) $ 上的 BV 算子是否与标准 Hochschild 上杯积和 Gerstenhaber 李括号相容？
• RQ4 $ LM $ 上的 $ S^1 $-作用（在弦拓扑中诱导出 $ \Delta $ 算子）如何提升至 $ C_*\Omega M $ 的 Hochschild 上同调？
• RQ5 能否通过使用 $ C_*\Omega M $ 作为基础代数，将弦拓扑与 Hochschild 上同调之间的同构关系从 $ K(G,1) $-流形推广到一般流形？

主要发现

• 本文通过以 $ C_*\Omega M $-模为局部系数的导出 Poincaré 对偶性，构造了对偶同构 $ D: HH^*(C_*\Omega M) \to HH_{*+d}(C_*\Omega M) $。
• 将 $ D $ 与 Goodwillie 同构 $ HH_*(C_*\Omega M) \cong H_*(LM) $ 复合，得到一个分次 $ k $-模同构 $ HH^*(C_*\Omega M) \cong \mathbb{H}_*(LM) $。
• 通过定义为 $ -D^{-1}BD $ 的 BV 算子使 $ HH^*(C_*\Omega M) $ 成为一个与 $ \mathbb{H}_*(LM) $ 上的弦拓扑 BV 代数同构的 Batalin-Vilkovisky 代数。
• 在 $ HH^*(C_*\Omega M) $ 上诱导的 Gerstenhaber 李括号与标准 Hochschild 上同调括号一致。
• 通过参数谱的 Atiyah 对偶性框架，$ \mathbb{H}_*(LM) $ 上的圈积源自于 $ C_*\Omega M $-系数下 $ H_*(M) $ 上的交积。
• 该同构推广了此前对 $ K(G,1) $-流形的结果，其中 $ C_*\Omega M \simeq kG $，通过以基于环路空间的链代数取代群环，推广至一般流形。