[논문 리뷰] Strong bi-homogeneous Bézout theorem and its use in effective real algebraic geometry

Mohab Safey El Din, Philippe Trébuchet|ArXiv.org|2006. 10. 10.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 23인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 다항식의 차수 최대 $D$로 정의된 매끄러운 복소대수다양체 위에서 사영의 임계점의 차수를 유계화하는 강력한 이중동차 Bézout 정리를 제시한다. 이는 $D^s(D-1)^{n-s}\binom{n}{n-s}$의 유계를 제공한다. 이는 이중동차 구조를 갖는 라그랑주 체계를 사용하여, 매끄러운 실대수다양체의 각 연결 성분에 적어도 한 점을 계산하는 확률적 알고리즘을 설계한다. 이 알고리즘의 최악의 경우 산술 복잡도는 이 유계와 평가 복잡도에 다항식적으로 의존한다.

ABSTRACT

Let f1, ..., fs be a polynomial family in Q[X1,..., Xn] (with s less than n) of degree bounded by D. Suppose that f1, ..., fs generates a radical ideal, and defines a smooth algebraic variety V. Consider a projection P. We prove that the degree of the critical locus of P restricted to V is bounded by D^s(D-1)^(n-s) times binomial of n and n-s. This result is obtained in two steps. First the critical points of P restricted to V are characterized as projections of the solutions of Lagrange's system for which a bi-homogeneous structure is exhibited. Secondly we prove a bi-homogeneous Bézout Theorem, which bounds the sum of the degrees of the equidimensional components of the radical of an ideal generated by a bi-homogeneous polynomial family. This result is improved when f1,..., fs is a regular sequence. Moreover, we use Lagrange's system to design an algorithm computing at least one point in each connected component of a smooth real algebraic set. This algorithm generalizes, to the non equidimensional case, the one of Safey El Din and Schost. The evaluation of the output size of this algorithm gives new upper bounds on the first Betti number of a smooth real algebraic set. Finally, we estimate its arithmetic complexity and prove that in the worst cases it is polynomial in n, s, D^s(D-1)^(n-s) and the binomial of n and n-s, and the complexity of evaluation of f1,..., fs.

연구 동기 및 목표

• 매끄러운 복소대수다양체 위에서 차수 최대 $D$인 다항식으로 정의된 사영의 임계점의 차수에 대해 날카로운 유계를 확립하는 것.
• 기존의 동차 차원 방법을 일반화하여, 매끄러운 실대수다양체의 각 연결 성분에 적어도 한 점을 계산하는 알고리즘을 개발하는 것.
• 특히 비동차원인 경우에 발생하는 조합적 폭발을 피하기 위해 중간 계산에서의 복잡도 유계를 향상시키는 것.
• 이중동차 Bézout 유계와 입력 시스템의 평가 비용에 다항식적으로 의존하는 복잡도 분석을 제공하는 것.

제안 방법

• 이중동차 구조를 명시적으로 갖는 라그랑주 체계의 해의 사영으로 매끄러운 다양체 위의 사영의 임계점을 특성화하는 것.
• 이중동차 다항식으로 생성된 이상의 근의 동차 성분들의 차수 합에 대해 날카로운 이중동차 Bézout 정리를 증명하는 것.
• 이중동차 구조를 활용하여 다항식 시스템 해법에서 중간 다양체의 차수를 유계화하고 조합적 폭발을 피하는 것.
• 라그랑주 승수를 기반으로 한 확률적 알고리즘을 설계하여 실근의 각 연결 성분에 대해 적어도 한 점을 계산하는 것.
• 기하학적 해석과 유리 매개변수화를 활용하여 출력 크기를 유계화하는 것.
• 산술 복잡도를 분석하고, 이가 $n$, $s$, 이중동차 Bézout 유계 $D^s(D-1)^{n-s}\binom{n}{n-s}$, 그리고 $f_1,\ldots,f_s$의 평가 비용에 다항식적으로 의존함을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매끄러운 복소대수다양체 위에서 차수 최대 $D$인 다항식으로 정의된 사영의 임계점의 차수에 대해 가능한 가장 날카로운 유계는 무엇인가?
• RQ2 동차 차원을 가정하지 않고도, 매끄러운 실대수다양체 위의 사영의 임계점을 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ3 라그랑주 체계에서의 이중동차 구조는 복잡도에서 조합적 폭발을 피하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?
• RQ4 매끄러운 실대수다양체의 각 연결 성분에 대해 적어도 한 점을 계산하는 데 있어 최악의 경우 산술 복잡도는 무엇인가?
• RQ5 이러한 알고리즘의 출력 크기를 기하학적 불변량인 이중동차 Bézout 유계로 유계화할 수 있는가?

주요 결과

• 차수 최대 $D$인 $s$개의 다항식으로 정의된 매끄러운 복소다양체 위에서 사영의 임계점의 차수는 $D^s(D-1)^{n-s}\binom{n}{n-s}$로 유계화된다.
• 이중동차 Bézout 정리는 이중동차 다항식으로 생성된 이상의 동차 성분들의 차수 합에 대해 날카로운 유계를 제공한다.
• $(f_1,\ldots,f_s)$가 정규열일 경우, 유계는 $D^s(D-1)^{n-s}\binom{n-1}{n-s}$로 향상된다.
• 제안된 알고리즘은 매끄러운 실대수다양체의 각 연결 성분에 대해 최악의 경우 산술 복잡도가 $n$, $s$, 이중동차 Bézout 유계, 그리고 입력 다항식의 평가 비용에 다항식적으로 의존한다.
• 알고리즘의 출력 크기는 매끄러운 실대수다양체의 첫 번째 베티 수에 대해 새로운 개선된 상한을 제공한다.
• 기존 방법에서 존재하는 조합적 인자 ${\binom{n}{n-d}}$를 제거함으로써, 이 알고리즘은 동차 차원 조건을 제거한 채로 기존 방법을 일반화한다.