[논문 리뷰] Strong partition relations below the power set: consistency, was Sierpinski right, II?

Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|1991. 01. 15.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 5인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 멱집합 이하의 강한 분할 관계를 조사하며, 대규모 기수와 포스팅의 맥락에서 분할 성질의 일致성을 다룬다. Galvin의 $\omega_2\to[eta_1]^n_{h(n)}$에 대한 추측을 반증하고, 에르되시 기수를 기반으로 $2^\omega\to[eta_1]^n_{h(n)}$의 일치성을 확립하며, 할퍼너-라우흐리 유형 정리들을 비가산 $\lambda$로 일반화한다. 주요 기여는 $\omega_2$ 기반 분할 관계에 대한 부정적 결과와 $2^\omega$ 기반 관계에 대한 긍정적 일致성 결과이다.

ABSTRACT

We continue here [She88] but we do not rely on it. The motivation was a conjecture of Galvin stating that 2^{omega} >= omega_2 + omega_2-> [omega_1]^{n}_{h(n)} is consistent for a suitable h: omega-> omega. In section 5 we disprove this and give similar negative results. In section 3 we prove the consistency of the conjecture replacing omega_2 by 2^omega, which is quite large, starting with an Erdős cardinal. In section 1 we present iteration lemmas which are needed when we replace omega by a larger lambda and in section 4 we generalize a theorem of Halpern and Lauchli replacing omega by a larger lambda .

연구 동기 및 목표

• 강한 분할 관계 $\lambda \to [\mu]^n_\theta$의 일치성을 $\lambda < 2^\omega$ 인 경우에 대해 조사하며, 특히 포스팅과 대규모 기수의 맥락에서 다룬다.
• Galvin이 제시한 $\omega_2 \to [\omega_1]^n_{h(n)}$의 일치성을 주장하는 추측을 반증한다. 여기서 $h: \omega \to \omega$이다.
• 에르되시 기수를 기초로 삼아 $2^\omega \to [\omega_1]^n_{h(n)}$의 일치성을 확립한다.
• 할퍼너-라우흐리 정리를 비가산 $\lambda$로 일반화하고, 이러한 $\lambda$를 포함하는 포스팅 구성에 적합한 반복 레미마를 개발한다.
• 포스팅 확장에서의 정규 상한을 정의하고, 이들이 분할 비유도성을 증명하는 색칠법을 구성하는 데서 수행하는 역할을 분석한다.

제안 방법

• 논문은 대규모 기수의 구조를 유지하기 위해 비가산 기수 $\lambda$에 대해 $\lambda$-폐쇄 포스팅 개념을 반복적으로 사용하는 포스팅 구성 기법을 활용한다.
• 강제 포지트 $\mathbb{P}$ 내의 수열에 대해 정규 상한 $p_0 \mathbin{\&} p_1$을 도입하며, $\mathcal{H}(\chi)$ 위의 잘서열 $<^*_{\chi}$를 사용해 유일성을 보장한다.
• 색칠법 $d$를 $[\lambda]^{n+1}$ 위에서 정의하기 위해 $g^1_\kappa$, $g^2_\kappa$의 함수 계층과 색칠법 $d_1$, $d_2$를 사용하며, 이는 순서형 $\mu$를 갖는 단색 집합이 존재하지 않게 하여 $\lambda \not\to [\mu]^{n+1}_\ell$임을 보여준다.
• 모형 이론적 기법을 적용하여, 크기가 $<\mu$인 초모형 $N_i$를 사용해 증가하는 수열 $\langle \alpha_i : i < \mu \rangle$의 구조와 클럽 $C^{i}$와의 상호작용을 분석한다.
• 두 경우를 구분한다: 케이스 I는 $C^i \cap N_j$ 가 $\delta_j$ 에서 유계이면서 무한히 많은 $j$ 에서 성립하는 경우이며, 이는 $g^1_\kappa$를 사용한다. 케이스 II는 $C^i \cap N_j$ 가 무한히 많은 $j$ 에서 비유계이므로 $g^2_\kappa$를 사용한다.
• Knaster 조건과 정적집합의 성질을 활용하여, 구성된 색칠법이 요구된 순서형을 갖는 동형 집합을 포함하지 않음을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수 $h: \omega \to \omega$에 대해 $\omega_2 \to [\omega_1]^n_{h(n)}$ 분할 관계는 어떤가? 일치성이 있는가?
• RQ2 에르되시 기수를 기초로 삼아 $2^\omega \to [\omega_1]^n_{h(n)}$ 관계를 일관되게 확립할 수 있는가?
• RQ3 비가산 기수 $\lambda > \omega$로 $\lambda$를 대체할 경우 강한 분할 관계 $\lambda \to [\mu]^n_\theta$의 행동은 어떠한가?
• RQ4 강한 분할 관계 맥락에서 할퍼너-라우흐리 정리를 비가산 $\lambda$로 일반화할 수 있는가?
• RQ5 강제 포지트 내 정규 상한은 분할 관계에 대한 반례를 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 Galvin의 추측을 반증한다. 즉, $\omega_2 \to [\omega_1]^n_{h(n)}$ 가 어떤 $h: \omega \to \omega$에 대해 일치한다는 주장은 ZFC에서 $2^\omega \geq \omega_2$ 조건 하에 실패함을 보여준다.
• 에르되시 기수를 기초로 삼아 포스팅 확장을 구성함으로써 $2^\omega \to [\omega_1]^n_{h(n)}$ 의 일치성을 확립한다. 이는 $2^\omega$ 가 이러한 형태의 강한 분할 관계를 지닐 수 있음을 증명한다.
• $n \geq 1$ 인 경우 $\aleph_n \not\to_{\mathsf{stg}}[\aleph_1]^{n+1}_{\aleph_0}$ 이 성립함을 보이며, 이는 심지어 강력한 형태의 분할 관계도 $\aleph_n$ 에서 실패함을 시사한다.
• 논문은 $n \geq 1$ 인 경우 $\aleph_t \not\to [\aleph_1]^{n+1}_{\aleph_0}$ 를 증명하며, 이는 $n=2$ 인 경우 토도르체비치의 결과를 일반화한 것이다.
• $[\lambda]^{n+1}$ 위의 색칠법 $d$ 는 특정 집합 $w$ 의 크기의 기수에 따라 $d_1$ 과 $d_2$ 를 조합하여 구성되며, 이는 순서형 $\mu$ 를 갖는 단색 집합이 존재하지 않게 하여 $\lambda \not\to [\mu]^{n+1}_\ell$ 을 증명한다.
• 케이스 II 분석에서, 비유계 교차 $C^i \cap N_j$ 는 $\mu$ 개의 서로 다른 순서형에 대해 $g^2_\kappa$ 를 적용하며, 이는 $[A]^n$ 에서 최대 $\theta$ 개의 색상만을 갖는 색칠법을 구성할 수 있게 하여 분할 관계의 실패를 확인한다.