[논문 리뷰] Strong solutions of SDE's with generalized drift and multidimensional fractional Brownian initial noise

David Baños, Salvador Ortiz-Latorre외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 03.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 31인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 소수의 허스트 매개수 $ H < \frac{1}{2} $ 를 가진 다차원 분수 브라운 운동에 의해 구동되는 일반화된 비율을 가진 다차원 확률미분방정식에 대해 강해(solution)의 존재성을 확립한다. 여기서 비율은 해의 국소시간을 통해 정의된다. 이 접근법은 말리아빈 미적분학과 새로운 국소시간 변분법을 조합하여, 분수 노이즈로의 비대칭 브라운 운동 개념을 확장한다.

ABSTRACT

In this paper we prove the existence of strong solutions to a SDE with a generalized drift driven by a multidimensional fractional Brownian motion for small Hurst parameters H&lt;1/2. Here the generalized drift is given as the local time of the unknown solution process, which can be considered an extension of the concept of a skew Brownian motion to the case of fractional Brownian motion. Our approach for the construction of strong solutions is new and relies on techniques from Malliavin calculus combined with a "local time variational calculus" argument.

연구 동기 및 목표

• 다차원 분수 브라운 운동에 의해 구동되는 일반화된 비율을 가진 SDE의 강해 존재성을 확립하는 것.
• 특히 $ H < \frac{1}{2} $ 인 경우, 비대칭 브라운 운동 개념을 분수 브라운 운동 설정으로 확장하는 것.
• 비마르코프성 및 비세미마르팅글 성질을 갖는 비정규 노이즈를 다루기 위해 말리아빈 미적분학과 국소시간 변분법을 조합한 새로운 분석 프레임워크를 개발하는 것.
• 기본 브라운 운동에서 유래하는 마르코프성 및 세미마르팅글 성질이 없는 경우 강해를 구성하는 데 도전하는 문제를 다루는 것.

제안 방법

• 초기 노이즈에 대한 해 과정의 정규성과 미분 가능성 분석을 위해 말리아빈 미적분학을 활용한다.
• 해의 국소시간으로 정의된 일반화된 비율 항을 다루기 위해 '국소시간 변분법'을 도입한다.
• 적절한 함수 공간에서의 컴팩턴스 기준을 활용하여 근사해의 수렴하는 부분수열을 추출한다.
• 해 과정의 모멘트와 노름의 성장률을 제어하기 위해 감마 함수의 점근적 분석과 특수 적분을 적용한다.
• 공분산 행렬의 행렬식과 가우시안 벡터의 조건부 분산 공식을 통한 가우시안 모멘트 추정에 의존한다.
• 분수 브라운 운동의 커널 $ K_H $ 를 포함한 적분 추정을 통해 증분과 호일더 유형의 정규성을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다차원 분수 브라운 운동에 의해 구동되며 $ H < \frac{1}{2} $ 인 SDE에 대해 국소시간 비율이 있는 강해를 구성할 수 있는가?
• RQ2 비마르코프성 및 비세미마르팅글 성질을 갖는 설정에서 말리아빈 미적분학은 국소시간으로 정의된 일반화된 비율을 다루기 위해 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ3 이 비고전적 SDE 프레임워크에서 근사 수열의 수렴을 보장하기 위해 필요한 컴팩턴스 및 모멘트 추정은 무엇인가?
• RQ4 비대칭 브라운 운동 개념은 $ H < \frac{1}{2} $ 인 분수 브라운 운동으로 얼마나 넓게 일반화할 수 있는가?
• RQ5 비세미마르팅글성 및 마르코프성 부재를 극복하기 위해 어떤 새로운 분석 도구가 필요한가?

주요 결과

• 소수의 허스트 매개수 $ H < \frac{1}{2} $ 인 다차원 분수 브라운 운동에 의해 구동되는 일반화된 비율을 가진 SDE에 대해 강해가 존재한다.
• 일반화된 비율은 해 과정의 국소시간으로 정의되며, 이는 비대칭 브라운 운동 개념을 분수 노이즈로 확장한다.
• 해는 분수 브라운 운동에 의해 생성되는 필터레이션에 적응되어 있으며, 강해 성질을 만족한다.
• 이 방법은 이전에 이 맥락에서 사용된 바가 없는 말리아빈 미적분학과 국소시간 변분법의 새로운 조합에 의존한다.
• 근사 스킴에서 노름의 성장률을 제어하기 위해 모멘트 추정과 감마 함수의 점근적 분석을 사용한다.
• 결과는 모든 차원 $ d \geq 1 $ 에 대해 성립하며, 점근적 경계에서 지수 $ 1 + d $ 를 통해 허스트 매개수 $ H $ 와 차원 $ d $ 에 따라 구성이 달라진다.