[논문 리뷰] Structural stability of the transonic shock problem in a divergent three dimensional axisymmetric perturbed nozzle

Shangkun Weng, Chunjing Xie외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 05.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 26인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 초음속 유입, 노즐 경계, 출구 압력의 변화에 대한 편미분에 대해 3차원 축대칭 확산 노즐 내의 초음속 충격파의 구조적 안정성을 확립한다. 흐름선을 직선화하는 역가능한 라그랑주 변환을 도입함으로써 저자들은 오일러 체계를 비국소항과 알 수 없는 충격면을 포함한 2차의 타원형 방정식으로 환원하여 일반적인 편미분에 대해 해의 존재성과 정칙성을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper, we prove the structural stability of the transonic shocks for three dimensional axisymmetric Euler system with swirl velocity under the perturbations for the incoming supersonic flow, the nozzle boundary, and the exit pressure. Compared with the known results on the stability of transonic shocks, one of the major difficulties for the axisymmetric flows with swirls is that corner singularities near the intersection point of the shock surface and nozzle boundary and the artificial singularity near the axis appear simultaneously. One of the key points in the analysis for this paper is the introduction of an invertible Lagrangian transformation which can straighten the streamlines in the whole nozzle and help to represent the solutions of transport equations explicitly.

연구 동기 및 목표

• 초음속 유입, 노즐 기하학, 출구 압력의 변화에 대해 3차원 축대칭 노즐 내의 초음속 충격파의 구조적 안정성을 확립하기 위해.
• 충격-노즐 벽면 접합부에서 발생하는 모서리 특이성과 축 근처의 인위적 특이성이 스며든 유동에서 동시에 존재하는 문제를 다루기 위해.
• 초음속 충격 불연속성을 포함한 오일러 체계에서의 쌍곡형 및 타원형 거동의 복잡한 상호작용을 다룰 수 있는 강력한 분석 프레임워크를 개발하기 위해.
• 잠재류 및 비회전 축대칭 유동의 경우에 한정된 구조적 안정성 이론을 더 일반적인 스며든 유동의 경우로 확장하기 위해.

제안 방법

• 노즐 전역에서 흐름선을 직선화하는 역가능한 라그랑주 변환을 도입하여 운반 방정식의 명시적 표현을 가능하게 한다.
• 스며든 3차원 축대칭 오일러 체계를 비국소항과 알 수 없는 충격면 매개변수를 포함한 2차 타원형 방정식으로 변환한다.
• 특성선 방법을 사용하여 각도 성분 $ U_3 $에 대한 운반 방정식을 풀어 유일성과 정칙성을 확보한다.
• 모서리에서 충격이 노즐 벽과 만날 경우의 $ C^{2,eta} $ 정칙성을 확보하기 위해 짝수 확장 기법을 적용한다.
• 에너지 추정과 가중치를 부여한 노름을 사용하여 축과 충격 경계 접합부에서 발생하는 특이성을 제어한다.
• 방정식의 구조를 활용하여 유입 조건, 노즐 형상, 출구 압력의 변화가 충격과 유동장에 $ C^{2,eta} $-연속적인 변화를 유도함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차원 축대칭 확산 노즐 내 스며든 유동이 있는 초음속 충격파는 초음속 입구 조건, 노즐 경계, 출구 압력의 변화에 대해 구조적으로 안정적인가?
• RQ2 충격-벽면 접합부의 모서리 특이성과 축 특이성이 함께 존재할 경우 스며든 초음속 유동 분석에서 이들의 영향을 어떻게 제어할 수 있는가?
• RQ3 3차원 축대칭 노즐 내 스며든 유동에서 전체적으로 흐름선을 직선화할 수 있는 라그랑주 변환을 구성할 수 있는가? 이는 해의 명시적 표현을 가능하게 한다.
• RQ4 문제 데이터의 소규모 변화에 대해 충격면과 유동 변수의 정칙성 특성은 어떻게 유지되는가?
• RQ5 스며든 유동이 존재하는 경우에도, 비스며든 경우와 유사하게, 일반적인 변화에 대해 초음속 충격파의 구조적 안정성은 강건한가?

주요 결과

• 3차원 축대칭 확산 노즐 내 스며든 유동이 있는 초음속 충격파는 초음속 입구 조건, 노즐 경계, 출구 압력의 소규모 변화에 대해 구조적으로 안정하다.
• 역가능한 라그랑주 변환의 도입은 흐름선을 직선화하고 운반 방정식의 해를 명시적으로 표현하는 데 성공적으로 기여하였으며, 특히 $ U_3 $에 대해 유리하다.
• 편미분 문제의 해는 모서리 및 노즐 경계에까지 $ C^{2,eta} $ 정칙성을 유지하며, 모서리 특이성과 축 특이성이 존재하는 상황에서도 그대로 유지된다.
• 충격면과 유동 변수는 문제 데이터의 변화에 대해 매끄럽게 의존하며, 충격 위치와 강도는 소규모 변화에 대해 연속적으로 조정된다.
• 분석 결과 스며든 유동에 기인한 추가 항($ U_3^2 $)은 하위항으로 간주되며, 구조적 안정성 프레임워크에 영향을 주지 않는다.
• 모서리 근처의 해의 정칙성은 수정된 짝수 확장 방법을 통해 확립되었으며, 충격-벽면 접합부 주변에서 $ C^{2,eta} $ 연속성을 보장한다.