[논문 리뷰] Structure of Julia sets for post-critically finite endomorphisms on $\mathbb{p}^2$

Zhuchao Ji|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 15.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 41인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 ℙ² 상의 후기별로 유한한(PCF) 복소다형사상에 대한 줄리 세트의 구조를 조사한다. 첫 번째 줄리 세트 $J_1$가 최대 엔트로피 측도의 지지체를 초월할 때, $J_1 \setminus J_2$의 집합은 임의의 임계 성분 순환의 기수와 비정기적 초초승의 안정다양체의 합집합에 포함됨을 증명한다. 임계 분지에 대한 교차성 조건을 가정할 경우, $J_1 \setminus J_2$는 완전히 임계 성분 기수에 속하며, $J_2$의 어떤 점에도 편의성 디스크(Fatou disk)가 존재하지 않음을 보이며, 이는 PCF 사상에 대한 비이완 집합과 그린 전류의 레이어화 성질에 관한 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

Let $f$ be a post-critically finite endomorphism (PCF map for short) on $\mathbb{P}^2$, let $J_1$ denote the Julia set and let $J_2$ denote the support of the measure of maximal entropy. In this paper we show that: 1. $J_1\setminus J_2$ is contained in the union of the (finitely many) basins of critical component cycles and stable manifolds of sporadic super-saddle cycles. 2. For every $x\in J_2$ which is not contained in the stable manifold of a sporadic super-saddle cycle, there is no Fatou disk containing $x$. Here sporadic means that the super-saddle cycle is not contained in a critical component cycle. Under the additional assumption that all branches of $PC(f)$ are smooth and intersect transversally, we show that there is no sporadic super-saddle cycle. Thus in this case $J_1\setminus J_2$ is contained in the union of the basins of critical component cycles, and for every $x\in J_2$ there is no Fatou disk containing $x$. As consequences of our result: 1.We answer some questions of Fornaess-Sibony about the non-wandering set for PCF maps on $\mathbb{P}^2$ with no sporadic super-saddle cycles. 2. We give a new proof of de Th\'elin's laminarity of the Green current in $J_1\setminus J_2$ for PCF maps on $\mathbb{P}^2$. 3. We show that for PCF maps on $\mathbb{P}^2$ an invariant compact set is expanding if and only if it does not contain critical points, and we obtain characterizations of PCF maps on $\mathbb{P}^2$ which are expanding on $J_2$ or satisfy Axiom A.

연구 동기 및 목표

• ℙ² 상의 후기별로 유한한(PCF) 다형사상에 대해 $J_1 \setminus J_2$의 구조를 이해하고, 특히 임계 성분 순환과 비정기적 초초승 다형체의 기여를 규명한다.
• Fornaess와 Sibony가 제기한, ℙ² 상의 PCF 사상에 대한 비이완 집합과 그린 전류의 레이어화 성질에 관한 열린 문제를 해결한다.
• ℙ² 상의 PCF 사상이 $J_2$에서 팽창성인지 또는 Axiom A를 만족하는지의 조건을 규명하며, 이는 역학적 성질과 임계 집합의 구조를 연결한다.

제안 방법

• 다이나믹스의 구조를 분석하기 위해 $J_1$와 $J_2$의 줄리 세트를 분해한다. 여기서 $J_1$는 다이나믹스 그린 전류 $T$의 지지체이며, $J_2 = \mathrm{Supp}(T \wedge T)$는 최대 엔트로피 측도의 지지체이다.
• 임계 성분 순환의 기수와 비정기적 초초승 다형체의 안정다양체의 합집합에 포함됨을 보이며, 여기서 '비정기적'은 어떤 임계 성분 순환에도 포함되지 않는다는 의미이다.
• 반복 함수족이 정규인 복소다양체 디스크인 편의성 디스크의 개념을 적용하고, 비정기적 초초승 다형체의 안정다양체에 속하지 않은 한, $J_2$의 점을 포함하는 편의성 디스크는 존재하지 않음을 증명한다.
• 그린 전류의 레이어화 성질을 분석하기 위해 $\sigma_T = T \wedge \omega$의 추적 측도를 사용하며, 이는 $J_1 \setminus J_2$ 내의 레이어화 구조와 편의성 디스크 존재성 간의 연관성을 밝힌다.
• 임계 분지에 대해 교차성 및 미분 가능성 조건을 도입함으로써 비정기적 초초승 다형체를 제거하고, $J_1 \setminus J_2$의 구조를 단순화한다.
• Dinh-Sibony 및 de Thélin의 그린 전류와 레이어화 성질에 관한 결과를 응용하여, 교차성 조건 하에서 그린 전류가 $J_1 \setminus J_2$에서 레이어화됨을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℙ² 상의 PCF 다형사상에 대해 $J_1 \setminus J_2$의 정확한 구조는 무엇이며, 임계 성분 순환과 비정기적 초초승 다형체는 이에 어떻게 기여하는가?
• RQ2 ℙ² 상의 PCF 사상에 대해 $J_2$에 편의성 디스크가 존재하지 않는다는 것은 어떤 조건에서 성립하는가?
• RQ3 임계 집합에 대한 어떤 조건에서 비정기적 초초승 다형체가 없을 경우, $J_1 \setminus J_2$가 완전히 임계 성분 기수에 포함됨을 보장할 수 있는가?
• RQ4 $J_2$에서 팽창성 또는 Axiom A 조건을 만족하는 것과 PCF 다형사상의 임계 성분 역학 간의 관계는 어떠한가?
• RQ5 임계 집합의 구조와 역학적 분석을 통해 $J_1 \setminus J_2$에서 그린 전류의 레이어화 성질을 재증명할 수 있는가?

주요 결과

• 집합 $J_1 \setminus J_2$는 임계 성분 순환의 기수와 비정기적 초초승 다형체의 안정다양체의 합집합에 포함되며, 여기서 '비정기적'은 어떤 임계 성분 순환에도 포함되지 않는다는 의미이다.
• 비정기적 초초승 다형체의 안정다양체에 속하지 않은 $J_2$의 모든 점 $x$에 대해, $x$를 포함하는 편의성 디스크는 존재하지 않으며, 이는 이러한 점들이 역학적으로 비정규적임을 의미한다.
• 모든 $PC(f)$ 분지가 미분 가능하고 교차성 조건을 만족한다고 가정할 경우, 비정기적 초초승 다형체는 존재하지 않으며, 따라서 $J_1 \setminus J_2$는 오직 임계 성분 기수에만 포함된다.
• 이 논문은 PCF 다형사상에 대해 $J_1 \setminus J_2$에서 그린 전류의 레이어화 성질을 재증명하며, 직접 전류 이론적 방법이 아닌 구조적 역학적 분석을 사용한다.
• 콤���트 불변 집합이 팽창성임과 동시에 임계 점을 포함하지 않음이 동치이며, ℙ² 상의 PCF 다형사상에서 $f$가 $J_2$에서 팽창성임은 모든 임계 성분이 임계 성분 순환으로 전기형임과 동치이다.
• ℙ² 상의 PCF 다형사상이 Axiom A를 만족함은 $J_2$에서 팽창성이며, 각 임계 성분 순환과 $J_1$의 교차가 하이퍼볼릭(초승) 집합임과 동치이다.