[논문 리뷰] Structure of Virasoro tensor categories at central charge $13-6p-6p^{-1}$ for integers $p > 1$

Robert McRae, Jinwei Yang|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 04.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 53인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 정수 $p > 1$ 에 대해 중심적 전하 $c = 13 - 6p - 6p^{-1}$ 에서 바이랄로 카테고리 $\mathcal{O}_c$ 의 전체 텐서 카테고리 구조를 수립한다. 이는 카테고리가 유한하거나 반단순가 아닌 경우에도 성립하며, 카테고리의 강성, 모든 기약 모듈과 그 프로젝티브 코버의 융합 규칙 계산, 그리고 $\mathcal{O}_c$ 의 반단순화가 두 카테고리들의 델라인 곱과 동치임을 보여주며, 이 두 카테고리 각각은 $\widehat{\mathfrak{sl}}_2$ 의 카즈한-루스트리카 카테고리와 동치이며, 수준 $-2 + p^{\pm 1}$ 에 해당한다. 또한 $\mathcal{O}_c^0$ 가 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$-등변화된 $W(p)$-모듈 카테고리와 브레이드 텐서 동치임을 증명하는 최근의 추측을 확인한다.

ABSTRACT

Let $\mathcal{O}_c$ be the category of finite-length central-charge-$c$ modules for the Virasoro Lie algebra whose composition factors are irreducible quotients of reducible Verma modules. Recently, it has been shown that $\mathcal{O}_c$ admits vertex algebraic tensor category structure for any $c\in\mathbb{C}$. Here, we determine the structure of this tensor category when $c=13-6p-6p^{-1}$ for an integer $p>1$. For such $c$, we prove that $\mathcal{O}_{c}$ is rigid, and we construct projective covers of irreducible modules in a natural tensor subcategory $\mathcal{O}_{c}^0$. We then compute all tensor products involving irreducible modules and their projective covers. Using these tensor product formulas, we show that $\mathcal{O}_c$ has a semisimplification which, as an abelian category, is the Deligne product of two tensor subcategories that are tensor equivalent to the Kazhdan-Lusztig categories for affine $\mathfrak{sl}_2$ at levels $-2+p^{\pm 1}$. Next, as a straightforward consequence of the braided tensor category structure on $\mathcal{O}_c$ together with the theory of vertex operator algebra extensions, we rederive known results for triplet vertex operator algebras $\mathcal{W}(p)$, including rigidity, fusion rules, and construction of projective covers. Finally, we prove a recent conjecture of Negron that $\mathcal{O}_c^0$ is braided tensor equivalent to the $PSL(2,\mathbb{C})$-equivariantization of the category of $\mathcal{W}(p)$-modules.

연구 동기 및 목표

• 정수 $p > 1$ 에 대해 중심적 전하 $c = 13 - 6p - 6p^{-1}$ 에서 바이랄로 카테고리 $\mathcal{O}_c$ 의 전체 텐서 카테고리 구조를 규명하는 것. 이 카테고리는 반단순적이지도, 유한하지도 않다.
• 카테고리 $\mathcal{O}_c$ 가 강성을 지니며, 기약 모듈과 그 프로젝티브 코버를 포함한 모든 텐서곱을 계산하는 것.
• 카테고리 $\mathcal{O}_c$ 의 반단순화가 두 카테고리들의 델라인 곱과 동치이며, 각각 $\widehat{\mathfrak{sl}}_2$ 의 카즈한-루스트리카 카테고리와 동치이며, 수준 $-2 + p^{\pm 1}$ 에 해당함을 보여주는 것.
• 브레이드 텐서 구조와 정점 연산자 대수 확장 이론을 이용하여 트리플렛 정점 연산자 대수 $W(p)$ 의 기존 결과들인 강성과 융합 규칙을 재유도하는 것.
• 네그론의 최근 추측을 증명하는 것: 부분카테고리 $\mathcal{O}_c^0$ 는 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$-등변화된 $W(p)$-모듈 카테고리와 브레이드 텐서 동치이다.

제안 방법

• 정점 연산자 대수의 상호작용 연산자와 주르 알제브라 구성법을 사용하여 $\mathcal{O}_c$ 내의 융합 규칙과 텐서곱 구조를 분석하는 것.
• 군 $G = \mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$ 의 작용을 이용하여 $\mathcal{O}_c^0$ 내의 기약 모듈의 프로젝티브 코버를 구성하는 것.
• 정점 연산자 대수 확장 이론을 적용하여 $\mathcal{O}_c$ 의 브레이드 텐서 구조에서 기존의 트리플렛 대수 $W(p)$ 의 결과들을 재유도하는 것.
• 유도와 불변 함수자들을 통해 $\mathcal{O}_c^0$ 와 $G$-등변화된 $W(p)$-모듈 카테고리 사이의 브레이드 텐서 동치를 수립하는 것.
• 정확한 함수자와 자연 동형을 사용하여 유도-불변 조합 $F \circ I$ 가 항등함수와 자연동형임을 증명함으로써 동치성의 확인.
• 정점 연산자 대수 $W(p)$ 가 $V_c$-모듈로서 반단순임과, $G$ 의 기약 표현들의 유한차원성에 기반하여 모듈을 분해하고 불변량을 분석하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정수 $p > 1$ 에 대해 중심적 전하 $c = 13 - 6p - 6p^{-1}$ 에서 $\mathcal{O}_c$ 의 전체 텐서 카테고리 구조는 무엇인가?
• RQ2 $\mathcal{O}_c$ 카테고리가 강성을 지니는가? 그리고 그 기약 대상들의 카테고리 차원은 무엇인가?
• RQ3 $\mathcal{O}_c$ 내에서 기약 모듈과 그 프로젝티브 코버의 텐서곱은 어떻게 분해되는가?
• RQ4 $\mathcal{O}_c$ 의 반단순화는 무엇이며, 델라인 곱으로 어떻게 분해되는가?
• RQ5 $\mathcal{O}_c^0$ 는 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$-등변화된 $W(p)$-모듈 카테고리와 브레이드 텐서 동치인가?

주요 결과

• 정수 $p > 1$ 에 대해 중심적 전하 $c = 13 - 6p - 6p^{-1}$ 에서 카테고리 $\mathcal{O}_c$ 는 강성 구조를 지닌다. 모든 기약 모듈은 잘 정의된 카테고리 차원을 갖는다.
• $\mathcal{O}_c$ 내에서 기약 모듈과 그 프로젝티브 코버의 모든 텐서곱은 명시적으로 계산되었으며, 완전한 융합 규칙 기술이 제공된다.
• $\mathcal{O}_c$ 의 반단순화는 두 텐서 카테고리들의 델라인 곱과 동치이며, 각각 $\widehat{\mathfrak{sl}}_2$ 의 카즈한-루스트리카 카테고리와 동치이며, 수준 $-2 + p^{\pm 1}$ 에 해당한다.
• 트리플렛 정점 연산자 대수 $W(p)$ 의 결과들, 즉 강성과 융합 규칙 등은 $\mathcal{O}_c$ 의 브레이드 텐서 구조와 정점 연산자 대수 확장 이론을 이용하여 재유도되었다.
• 부분카테고리 $\mathcal{O}_c^0$ 는 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$-등변화된 $W(p)$-모듈 카테고리와 브레이드 텐서 동치임을 증명하였으며, 네그론의 추측을 확인하였다.
• 유도 함수자 $F$ 와 불변 함수자 $I$ 는 $\mathcal{O}_c^0$ 와 $G$-등변화된 $\mathrm{Rep}\,W(p)$ 사이의 상호 역인 동치를 형성하며, 전체 동치를 확립하였다.