[논문 리뷰] Study of Optimization Problems by Quantum Annealing

Tadashi Kadowaki|ArXiv.org|2002. 05. 05.

Advancements in Semiconductor Devices and Circuit Design참고 문헌 11인용 수 41

한 줄 요약

이 논문은 이징 모델에서 횡방향 자기장에 의해 열 변동을 양자 변동으로 대체하는 양자 앤날링을 새로운 최적화 방법으로 도입한다. 시간에 따라 변하는 슈뢰딩거 방정식을 수치적으로 풀고 양자 몬테카를로 시뮬레이션을 사용하여, 다양한 스핀 거품 모델, 특히 이징 모델과 최소비용순회문제(TSP)에서 고전적 시뮬레이션 앤날링보다 훨씬 높은 기본 상태 확률과 더 빠른 수렴 속도를 얻는 것으로 나타났다.

ABSTRACT

We introduce quantum fluctuations into the simulated annealing process of optimization problems, aiming at faster convergence to the optimal state. The idea is tested by the two models, the transverse Ising model and the traveling salesman problem (TSP). Adding the transverse field to the Ising model is a simple way to introduce quantum fluctuations. The strength of the transverse field is controlled as a function of time similarly to the temperature in the conventional method. TSP can be described by the Ising spin, so that we also apply the same technique to TSP. We directory solve the time-dependent Schrödinger equation for small-size systems and perform the quantum Monte Carlo simulation for large-size systems. Comparison with the results of the corresponding classical (thermal) method reveals that the quantum method leads to the ground state with much larger probability in almost all cases if we use the same annealing schedule of the control parameters. We also find that the relaxation time is quite short for quantum systems by numerical simulations. We consider this is one of the reasons why the annealing in quantum systems have a better performance of finding the optimal state in comparison with classical systems.

연구 동기 및 목표

• 양자 변동이 고전적 열 변동보다 최적화 문제에서 기본 상태로의 수렴 속도를 빠르게 할 수 있는지 조사하기 위해.
• 시간에 따라 변하는 양자 변동을 갖는 횡방향 이징 모델 기반의 양자 앤날링 프레임워크를 개발하고 테스트하기 위해.
• 정확한 수치적 해와 양자 몬테카를로 방법을 사용하여 양자 앤날링과 고전적 시뮬레이션 앤날링의 성능을 비교하기 위해.
• 이징 스핀 시스템으로 매핑하여 일반 최적화 문제, 예를 들어 최소비용순회문제(TSP)에 양자 앤날링 접근법을 확장하기 위해.
• 이완 시간과 제어 매개변수 스케줄링이 양자 앤날링의 효율성에 미치는 영향을 분석하기 위해.

제안 방법

• 고전적 앤날링의 열 노이즈를 양자 턨널링으로 대체하기 위해 이징 해밀토니안에 시간에 따라 변하는 횡방향 자기장을 추가하여 앤날링 과정에 양자 변동을 도입한다.
• 강자성, 과도한, 무작위 이징 상호작용을 갖는 소규모 시스템에 대해 시간에 따라 변하는 슈뢰딩거 방정식을 수치적으로 풀었다.
• 가상 시간을 이산화하기 위해 트로터 분할을 사용하여 경로 적분 공식을 적용한 양자 몬테카를로 방법을 사용하여 더 큰 시스템을 시뮬레이션하였다.
• 고전적 앤날링의 냉각과 유사하게 시간에 따라 선형 감소하는 횡방향 자기장 강도를 사용하여 시스템이 기본 상태로 유도되도록 하였다.
• 일반적인 NP-난이도 최적화 문제인 최소비용순회문제를 이징 스핀 거품 해밀토니안으로 매핑하여 방법을 테스트하였다.
• 시스템이 순간 기본 상태에 머무르도록 보장하기 위해 아디아바틱 조건을 사용하여 비아디아바틱 전이를 최소화하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 횡방향 이징 모델에서의 양자 변동이 스핀 거품 시스템의 기본 상태를 찾는 데 고전적 열 변동보다 뛰어나게 작용할 수 있는가?
• RQ2 동일한 앤날링 스케줄링 조건에서 양자 앤날링의 성능은 고전적 시뮬레이션 앤날링과 비교해 어떻게 되는가?
• RQ3 이완 시간은 양자 앤날링의 효율성에 어떤 역할을 하는가? 그리고 수렴 속도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 최소비용순회문제와 같은 일반 최적화 문제에 대해 이징 스핀 매핑을 통해 양자 앤날링을 효과적으로 적용할 수 있는가?
• RQ5 횡방향 자기장의 다양한 제어 스케줄링(예: 선형, 역시간)이 최종 상태 분포와 성공 확률에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 동일한 앤날링 스케줄링을 사용할 때, 고전적 시뮬레이션 앤날링보다 양자 앤날링이 훨씬 높은 기본 상태 도달 확률을 보였다.
• 소규모 시스템의 수치 시뮬레이션 결과, 특히 과도한 및 무작위 이징 모델에서 양자 앤날링은 훨씬 더 높은 정밀도로 기본 상태에 도달하는 것으로 나타났다.
• 더 큰 시스템에 대한 양자 몬테카를로 시뮬레이션은 정확한 해의 결과를 지지하며, 양자 앤날링이 스케일링 시에도 뛰어난 성능을 유지함을 시사한다.
• 양자 시스템에서의 이완 시간은 매우 짧은 것으로 밝혀졌으며, 이는 더 빠른 수렴과 향상된 최적화 효율성에 기여한다.
• 최소비용순회문제의 경우, 양자 앤날링 접근법은 횡방향 이징 모델에서 관찰된 것과 동일한 빠른 수렴 속도와 높은 성공률을 보였다.
• 비틀림 상태에 머무르는 최종 확률은 $ \sim h^2 / (64c^4) $ 로 감소함을 나타내어, 횡방향 자기장 변화를 더 천천가게 하면 아디아바틱성이 향상되고 성공률이 높아진다.