[논문 리뷰] SU(2)-Irreducibly covariant and EPOSIC channels

Muneerah Al Nuwairan|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 22.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 SU(2)-irreducibly covariant한 양자 채널의 일종인 EPOSIC 채널을 소개한다. 이 채널들은 모든 SU(2)-irreducibly covariant한 채널의 볼록집합의 극점들을 이룬다. Kraus 표현과 Choi 행렬을 구성하고, 보조 및 쌍대 사상의 분석을 통해, 이러한 채널들의 일정한 선형 조합이 완전히 양의 정의가 되지만 완전히 양의 정의가 되지 않는 사상들을 만들어내며, 이는 양자정보이론에서 새로운 예를 제공한다.

ABSTRACT

In this paper we introduce EPOSIC channels, a class of SU(2)-covariant quantum channels. We give their definition, a Kraus representation of them, and compute their Choi matrices. We show that these channels form the set of extreme points of all SU(2)-irreducibly covariant channels. We also compute their complementary channels, and their dual maps. As application of these channel, we get a new example of positive map that is not completely positive.

연구 동기 및 목표

• SU(2)-공변 양자 채널의 새로운 클래스인 EPOSIC 채널을 정의하고 특성화하는 것.
• EPOSIC 채널이 모든 SU(2)-irreducibly 공변 채널의 볼록집합의 극점임을 보이는 것.
• EPOSIC 채널의 Kraus 표현과 Choi 행렬을 계산하는 것.
• EPOSIC 채널의 보조 및 쌍대 사상의 분석하는 것.
• EPOSIC 채널을 사용하여 완전히 양의 정의가 되지 않는 양의 사상을 새로운 예로 구성하는 것.

제안 방법

• EPOSIC 채널을 SU(2)의 기약 표현에서 유도된 SU(2)-irreducibly 공변 채널로 정의한다.
• SU(2)의 Clebsch-Gordan 분해를 사용하여 텐서곱의 다중도 없이 분해되도록 보장함으로써 채널 구성의 단순화를 도모한다.
• 기약 포함관계와 군-등변 사상들을 이용해 EPOSIC 채널의 Kraus 연산자를 유도한다.
• 채널과 연산자 사이의 표준 이sovorphism을 통해 EPOSIC 채널의 Choi 행렬을 계산한다.
• SU(2)-irreducibly 공변 채널의 집합이 EPOSIC 채널이 극점이 되는 단체를 이룬다는 것을 입증한다.
• 표현 이론적 기법과 내적의 구조를 이용해 EPOSIC 채널의 보조 및 쌍대 사상의 분석을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SU(2)-irreducibly 공변 양자 채널의 구조는 어떻게 되며, 어떻게 매개변수화할 수 있는가?
• RQ2 SU(2)-irreducibly 공변 채널의 볼록집합에 극점이 존재하는가? 존재한다면, 무엇으로 특징지을 수 있는가?
• RQ3 이러한 채널의 Choi 행렬과 Kraus 표현을 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ4 이러한 채널의 보조 및 쌍대 사상의 성질은 무엇인가?
• RQ5 이러한 채널들로부터 완전히 양의 정의가 되지 않는 양의 사상을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• EPOSIC 채널은 모든 SU(2)-irreducibly 공변 채널의 볼록집합의 극점이다.
• EPOSIC 채널의 Kraus 표현은 기약 포함관계와 군-등변 사상들을 이용해 명시적으로 구성된다.
• EPOSIC 채널의 Choi 행렬은 $ C(\tilde{\rho}_{m,m+1,m}) = \frac{2}{m+2} \eta_{m,1,0} \eta_{m,1,0}^* $ 로 주어지며, 여기서 $ \eta_{m,1,0} $ 는 텐서곱 공간 내의 특정한 벡터이다.
• 모든 $ m \in \mathbb{N} \setminus \{0\} $ 에 대해, $ \Phi_{m,m+1,m} - \alpha \Phi_{m,m-1,m-1} $ 의 Choi 행렬은 고유값 $ -\frac{2\alpha}{m} $ 를 가지며, 이는 완전히 양의 정의가 되지 않음을 증명한다.
• $ \Phi_{m,m+1,m} - \alpha \Phi_{m,m-1,m-1} $ 는 어떤 $ n > 1 $ 에 대해서도 $ n $-양의 정의가 아니며, 이는 완전히 양의 정의가 되지 않음을 확인한다.
• 이 구성은 기존의 양자정보이론에서 알려진 클래스를 넘어서, 완전히 양의 정의가 되지 않는 양의 사상의 새로운 예를 제공한다.