[논문 리뷰] Subharmonic functions, generalizations and separately subharmonic functions

Juhani Riihentaus|ArXiv.org|2006. 10. 08.

Holomorphic and Operator Theory인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 하모닉 함수의 일반화로 준-거의 하모닉 함수를 도입하며, 준하모닉, 거의 하모닉, 거의 하모닉 함수를 통합한다. 별개로 하모닉인 변수에서 하모닉인 함수의 하모닉성에 대한 새로운 기준을 설정하여, 일반화된 라플라스 연산자와 적분 조건을 사용함으로써 이전 결과보다 더 낮은 정규성 조건을 도입함으로써 개선한다.

ABSTRACT

First, we give the definition for quasi-nearly subharmonic functions, now for general, not necessarily nonnegative functions, unlike previously. We point out that our function class incudes, among others, quasisubharmonic functions, nearly subharmonic functions (in a slightly generalized sense) and almost subharmonic functions. We also give some basic properties of quasi-nearly subharmonic functions. Second, after recalling some of the existing subharmonicity results of separately subharmonic functions, we give the corresponding counterparts for separately quasi-nearly subharmonic functions, thus improving previous results of ours, of Lelong, of Avanissian and of Arsove. Third, we give two results concerning the subharmonicity of a function subharmonic with respect to the first variable and harmonic with respect to the second variable. The first result improves a result of Arsove, concerning the case when the function has, in addition, locally a negative integrable minorant. The second result improves a result of Kołodziej and Thorbiörnson concerning the subharmonicity of a function subharmonic and ${\mathcal{C}}^2$ in the first variable and harmonic in the second.

연구 동기 및 목표

• 하모닉 함수의 일반화로 하모닉 함수, 준하모닉, 거의 하모닉, 거의 하모닉 함수를 포함하는 준-거의 하모닉 함수를 정의하고 연구한다.
• Armitage와 Gardiner, Lelong, Avanissian, Arsove의 이전 정리들을 개선하기 위해 별개로 하모닉인 함수에 대해 별개로 준-거의 하모닉 함수의 대응을 도입하여 별개로 하모닉인 함수의 결과를 확장한다.
• 하나의 변수에서 하모닉이고 다른 변수에서 하모닉인 함수에 대한 결과를 일반화하기 위해 일반화된 라플라스 연산자의 정규성 조건을 약화시키고 적분 조건을 도입한다.
• Arsove의 정리와 Kołodziej 및 Thorbiörnson의 정리에 대해 일반화된 라플라스 연산자와 라플라스 연산자의 연속성 조건을 사용하여 새로운 증명과 개선을 제공한다.

제안 방법

• 구간 위의 적분을 포함하는 일반화된 평균값 부등식을 만족하는 상부 하우스도르프 함수로 준-거의 하모닉 함수를 정의한다.
• 전통적인 라플라스 연산자가 아닌 일반화된 라플라스 연산자(블라슈케-프리바로프 연산자)를 사용하여 더 낮은 정규성 조건을 가진 함수를 다룬다.
• 리에즈 분해 정리를 사용하여 하모닉 함수와 초하모닉 함수의 합으로 하모닉 함수를 표현한다.
• 지역 적분 가능한 지배 함수의 개념과 적분 ∫₁^∞ s^{(n-1)/(m-1)} (φ(s))^{-1/(m-1)} ds < ∞ 조건을 사용하여 성장과 하모닉성 보장에 대한 제어를 한다.
• 콤���트성과 밀도 추론을 활용하며, 특히 연속성 조건 하에 밀도 집합 위의 연속 함수가 유일하게 연장된다는 사실을 응용한다.
• 구면 거리법을 사용하여 일반화된 라플라스 연산자의 연속성을 정의함으로써 불연속성 집합이 극점이 되는 것을 허용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하모닉 함수의 클래스는 비음수이거나 더 낮은 정규성 조건을 가진 함수를 포함하도록 일반화될 수 있는가?
• RQ2 어떤 조건에서 별개로 하모닉인 변수에서 하모닉이고 다른 변수에서 하모닉인 함수가 하모닉이 되는가?
• RQ3 일반화된 라플라스 연산자를 사용하여 Arsove의 정리와 Kołodziej 및 Thorbiörnson의 정리에서 정규성 조건을 어떻게 약화시킬 수 있는가?
• RQ4 지배 함수의 적분 가능성 또는 일반화된 라플라스 연산자의 행동이 하모닉성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 C² 조건을 일반화된 라플라스 연산자의 연속성 조건으로 대체함으로써 결과를 개선할 수 있는가?

주요 결과

• 준-거의 하모닉 함수의 클래스는 준하모닉, 거의 하모닉(일반화된 의미에서), 거의 하모닉 함수를 포함한다.
• 논문은 Armitage와 Gardiner의 결과를 개선하여 그들의 성장 조건을 p > 0 인 Lᵖ_loc-적분 가능성 조건으로 대체한다.
• 정리 4는 Arsove의 결과를 개선하여 지역 적분 가능한 지배 함수의 가정을 지역 유계인 하한 함수로 약화시키고 일반화된 라플라스 연산자를 사용한다.
• 정리 5는 Kołodziej 및 Thorbiörnson의 결과를 개선하여 C² 조건을 일반화된 라플라스 연산자 Δ₁u(·,y)가 거의 어디서나 연속임을 가정하는 것으로 대체한다.
• 보조정리 1은 일반화된 라플라스 연산자 Δ₁u(·,y)가 극점 집합 외부에서 연속적이고 유한할 경우 u가 하모닉임을 보여준다.
• 보조정리 2는 일반화된 라플라스 연산자 Δ₁u(·,y)가 연속적이고 실수 값을 가질 경우 u가 하모닉임을 보여주며, 깔끔하고 실용적인 기준을 제공한다.