[论文解读] Sublinear Estimation of Weighted Matchings in Dynamic Data Streams

Marc Bury, Chris Schwiegelshohn|arXiv (Cornell University)|May 8, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 30被引用 19

一句话总结

本文提出了一种新颖的算法，用于在动态图流中以亚线性空间估计最大权匹配的权重，通过将问题简化为估计无权匹配的大小。该算法在 Õ(n⁴/⁵) 空间下实现了对平面图的常数因子近似，并为在对抗性流中以 1+O(β) 因子近似最大匹配大小建立了近乎最优的 Ω(n¹⁻ᵝ) 空间下界。

ABSTRACT

This paper presents an algorithm for estimating the weight of a maximum weighted matching by augmenting any estimation routine for the size of an unweighted matching. The algorithm is implementable in any streaming model including dynamic graph streams. We also give the first constant estimation for the maximum matching size in a dynamic graph stream for planar graphs (or any graph with bounded arboricity) using $ ilde{O}(n^{4/5})$ space which also extends to weighted matching. Using previous results by Kapralov, Khanna, and Sudan (2014) we obtain a $\mathrm{polylog}(n)$ approximation for general graphs using $\mathrm{polylog}(n)$ space in random order streams, respectively. In addition, we give a space lower bound of $Ω(n^{1-\varepsilon})$ for any randomized algorithm estimating the size of a maximum matching up to a $1+O(\varepsilon)$ factor for adversarial streams.

研究动机与目标

• 解决在有限空间下估计动态图流中最大权匹配大小的挑战。
• 开发一种方法，将任意无权匹配估计例程转换为加权匹配估计器。
• 为动态流中的平面图（或有界度数的图）提供首个最大匹配大小的常数因子近似。
• 建立在对抗性流与随机顺序流中近似最大匹配大小的紧致空间复杂度界。
• 将先前在随机顺序流中关于对数多对数近似的结果扩展到动态设置，使用现有技术。

提出的方法

• 通过基于边权和图结构的变换，将加权匹配估计问题简化为估计无权匹配大小。
• 构建一个动态图流实例，其中最大匹配大小取决于向量中 1 的个数的奇偶性，使用基于超匹配的约化。
• 利用布尔隐藏超匹配（BHH）问题的约化，证明匹配估计的空间下界。
• 利用最大匹配大小与图兰矩阵的秩之间的等价性，推导出矩阵秩估计的下界。
• 应用流算法中的技术，包括线性投影和随机通信复杂度，以分析空间需求。
• 通过使用两节点对与 t-团的构造，建模爱丽丝输入与鲍勃的超匹配之间的交互，从而实现紧致下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 亚线性空间算法能否估计动态图流中最大权匹配的权重？
• RQ2 在动态流中，对平面图实现最大匹配大小的常数因子近似，其最优空间复杂度是多少？
• RQ3 动态流中匹配估计的空间复杂度与插入-仅流或随机顺序流相比如何？
• RQ4 在对抗性动态流中，近似最大匹配大小在 1+ε 因子内的固有空间下界是什么？
• RQ5 能否利用匹配大小与矩阵秩之间的联系，推导出流算法更强的下界？

主要发现

• 本文首次在 Õ(n⁴/⁵) 空间下，为动态图流中的平面图提供了最大匹配大小的常数因子近似。
• 对于一般图，该算法在随机顺序流中使用 polylog(n) 空间实现了 polylog(n)-近似，扩展了 Kapralov 等人的先前结果。
• 为任何随机化算法在对抗性流中以 1+O(β) 因子近似最大匹配大小，建立了 Ω(n¹⁻ᵝ) 的空间下界。
• 该下界通过布尔隐藏超匹配问题的约化得出，表明 (1+1/(3t/2−1))-近似需要 Ω(n¹⁻ᵗ/²) 空间。
• 该结果意味着，在动态流中以 1+1/(3t/2−1) 因子估计矩阵的秩（等价于最大匹配大小）需要 Ω(n¹⁻ᵗ/²) 空间。
• 该框架允许重用现有的无权匹配估计例程，以解决动态环境中的加权匹配问题。