[论文解读] Kernelization via Sampling with Applications to Dynamic Graph Streams

Rajesh Chitnis, Graham Cormode+5 more|Warwick Research Archive Portal (University of Warwick)|May 7, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 46被引用 13

一句话总结

本文提出了一种用于动态图流和分布式系统的新型子图采样原 primitive，通过采样实现高效内核化，以解决参数化图问题。该方法在最大匹配、顶点覆盖和命中集问题上实现了最优空间复杂度，具备次线性更新时间，并在对数因子范围内保持了紧致的空间复杂度保证。

ABSTRACT

In this paper we present a simple but powerful subgraph sampling primitive that is applicable in a variety of computational models including dynamic graph streams (where the input graph is defined by a sequence of edge/hyperedge insertions and deletions) and distributed systems such as MapReduce. In the case of dynamic graph streams, we use this primitive to prove the following results: -- Matching: First, there exists an $ ilde{O}(k^2)$ space algorithm that returns an exact maximum matching on the assumption the cardinality is at most $k$. The best previous algorithm used $ ilde{O}(kn)$ space where $n$ is the number of vertices in the graph and we prove our result is optimal up to logarithmic factors. Our algorithm has $ ilde{O}(1)$ update time. Second, there exists an $ ilde{O}(n^2/α^3)$ space algorithm that returns an $α$-approximation for matchings of arbitrary size. (Assadi et al. (2015) showed that this was optimal and independently and concurrently established the same upper bound.) We generalize both results for weighted matching. Third, there exists an $ ilde{O}(n^{4/5})$ space algorithm that returns a constant approximation in graphs with bounded arboricity. -- Vertex Cover and Hitting Set: There exists an $ ilde{O}(k^d)$ space algorithm that solves the minimum hitting set problem where $d$ is the cardinality of the input sets and $k$ is an upper bound on the size of the minimum hitting set. We prove this is optimal up to logarithmic factors. Our algorithm has $ ilde{O}(1)$ update time. The case $d=2$ corresponds to minimum vertex cover. Finally, we consider a larger family of parameterized problems (including $b$-matching, disjoint paths, vertex coloring among others) for which our subgraph sampling primitive yields fast, small-space dynamic graph stream algorithms. We then show lower bounds for natural problems outside this family.

研究动机与目标

• 开发一种适用于动态图流和分布式系统（如 MapReduce）的通用子图采样技术。
• 解决在动态流模型中参数化图问题缺乏非平凡算法的问题，其中边可被插入和删除。
• 在最大匹配、顶点覆盖和命中集等基本问题上，实现最优空间复杂度（对数因子内）。
• 将该方法扩展至加权匹配和有界边度数图，实现常数近似解，且空间复杂度为次线性。
• 为框架外的问题建立紧致下界，揭示流算法的极限。

提出的方法

• 提出一种非均匀子图采样原 primitive，确保在采样子图中保留小规模解（例如大小 ≤ k 的匹配）的存在性。
• 利用该采样原 primitive 将原始图缩减为更小、更具代表性的子图，同时保持解的性质。
• 应用该采样技术，设计出在解大小被 k 限制时，用于精确最大匹配的 Õ(k²) 空间流算法。
• 将方法扩展至任意大小图的 α-近似匹配，使用 Õ(n²/α³) 空间，与已知下界一致。
• 推广至加权匹配和有界边度数图，实现 Õ(n⁴/⁵) 空间的常数近似解。
• 通过从通信复杂性问题（如不相交问题）的归约，证明空间复杂度的最优性，建立 p-遍随机流算法的 Ω(n/p) 空间下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种子图采样原 primitive，使动态图流中实现最优空间和更新时间的内核化？
• RQ2 在动态图流中计算精确或近似最大匹配所需的最小空间是多少？
• RQ3 该采样方法能否扩展至其他参数化问题，如顶点覆盖、命中集和 b-匹配？
• RQ4 在该采样框架无法解决的问题类之外，是否存在紧致的下界？
• RQ5 动态流算法的空间复杂度与通过通信复杂性建立的理论极限相比如何？

主要发现

• 一个 Õ(k²) 空间的算法可在最优匹配大小不超过 k 的情况下，精确计算动态流中的最大匹配，且该空间界限在对数因子内是最优的。
• 一个 Õ(n²/α³) 空间的算法可为任意大小的图计算 α-近似匹配，与已知下界一致，并优于先前的仅插入算法。
• 对于有界边度数图，一个 Õ(n⁴/⁵) 空间的算法可实现最大匹配的常数近似解，证明了其在一般图之外的适用性。
• 一个 Õ(kᵈ) 空间的算法可解决集合大小为 d、解大小不超过 k 的最小命中集问题，且该界限在对数因子内是最优的。
• 该方法可推广至加权匹配及其他问题（如 b-匹配和顶点着色），实现小空间的动态流算法。
• 通过通信复杂性归约建立的下界表明，任何 p-遍随机流算法在解决如弦图识别、cograph 顶点删除和二分图彩色邻域等问题时，空间复杂度下界为 Ω(n/p)，从而证明了该框架的紧致性。