[논문 리뷰] Submodular Secretary Problem with Shortlists

Shipra Agrawal, Mohammad Shadravan외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 13.

Optimization and Search Problems인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 온라인 알고리즘이 최종 $k$개 항목을 선택하기 전에 더 큰 단기 목록을 선택할 수 있도록 허용하는 단기 목록을 갖춘 부분모듈라 $k$-세크레터리 문제를 제안한다. 다항시간 알고리즘을 제시하여 $O(k)$ 단기 목록을 사용해 $1 - 1/e - \epsilon - O(k^{-1})$의 경쟁률을 달성하며, 이는 이전의 스트리밍 결과에 비해 더 작은 메모리와 더 나은 근사 요소를 제공하여 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

In submodular $k$-secretary problem, the goal is to select $k$ items in a randomly ordered input so as to maximize the expected value of a given monotone submodular function on the set of selected items. In this paper, we introduce a relaxation of this problem, which we refer to as submodular $k$-secretary problem with shortlists. In the proposed problem setting, the algorithm is allowed to choose more than $k$ items as part of a shortlist. Then, after seeing the entire input, the algorithm can choose a subset of size $k$ from the bigger set of items in the shortlist. We are interested in understanding to what extent this relaxation can improve the achievable competitive ratio for the submodular $k$-secretary problem. In particular, using an $O(k)$ shortlist, can an online algorithm achieve a competitive ratio close to the best achievable online approximation factor for this problem? We answer this question affirmatively by giving a polynomial time algorithm that achieves a $1-1/e-\epsilon -O(k^{-1})$ competitive ratio for any constant $\epsilon > 0$, using a shortlist of size $\eta_\epsilon(k) = O(k)$. Also, for the special case of m-submodular functions, we demonstrate an algorithm that achieves a $1-\epsilon$ competitive ratio for any constant $\epsilon > 0$, using an $O(1)$ shortlist. Finally, we show that our algorithm can be implemented in the streaming setting using a memory buffer of size $\eta_\epsilon(k) = O(k)$ to achieve a $1 - 1/e - \epsilon-O(k^{-1})$ approximation for submodular function maximization in the random order streaming model. This substantially improves upon the previously best known approximation factor of $1/2 + 8 imes 10^{-14}$ [Norouzi-Fard et al. 2018] that used a memory buffer of size $O(k \log k)$.

연구 동기 및 목표

• 단기 목록을 통해 $k$-선택 제약 조건을 완화함으로써 부분모듈라 $k$-세크레터리 문제에서 경쟁률을 향상시킬 수 있는지 탐색한다.
• 일반적인 단조 부분모듈라 함수에 대해 단지 $O(k)$의 단기 목록 크기로 이론적 최적치인 $1 - 1/e$에 가까운 경쟁률을 달성하는 온라인 알고리즘을 설계한다.
• 최소한의 메모리 사용으로 랜덤 순서 스트리밍 모델에 이 접근법을 확장한다.
• $m$-부분모듈라 함수에 대해 $O(1)$의 단기 목록 크기로 $1 - \epsilon$의 경쟁률을 달성할 수 있는지 보여준다.
• 더 작은 메모리로 이전의 최고 스트리밍 근사 요소인 $1/2 + 8 \times 10^{-14}$를 초월한다.

제안 방법

• 최종 $k$개 항목 선택 이전에 $O(k)$ 크기의 단기 목록을 선택하는 완화된 접근 방식을 제안한다.
• 랜덤 순서로 항목을 처리하면서 적응적으로 단기 목록을 구축하는 다항시간 알고리즘을 사용한다.
• 단기 목록 구축 과정에서 탐색과 이용의 균형을 이루기 위해 임계값 설정 및 표본 추출 전략을 적용한다.
• 부분모듈라 함수에 대한 근사적 선택을 통해 단기 목록에서 최상의 $k$개 항목을 선택하는 후처리 단계를 시행한다.
• $m$-부분모듈라 함수의 경우, 일정한 단기 목록 크기로 거의 최적의 성능을 달성하는 특수한 선택 메커니즘을 사용한다.
• 단기 목록을 저장하기 위해 $O(k)$ 크기의 메모리 버퍼를 유지함으로써 알고리즘을 스트리밍 모델에 적응시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 크기가 $O(k)$인 단기 목록을 허용함으로써 부분모듈라 $k$-세크레터리 문제에서 경쟁률을 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 일반적인 단조 부분모듈라 함수에 대해 단지 $O(k)$의 단기 목록 크기로 $1 - 1/e - \epsilon$의 경쟁률을 달성할 수 있는가?
• RQ3 $m$-부분모듈라 함수에 대해 성능을 거의 최적화하면서도 단기 목록 크기를 $O(1)$로 줄일 수 있는가?
• RQ4 단기 목록 완화가 이전 작업에 비해 랜덤 순서 스트리밍 모델에서 더 나은 근사 요소를 가능하게 하는가?
• RQ5 제한된 메모리로 스트리밍 설정에서 알고리즘을 효율적으로 구현할 수 있는가?

주요 결과

• 임의의 상수 $\epsilon > 0$에 대해 $O(k)$ 단기 목록을 사용하여 $1 - 1/e - \epsilon - O(k^{-1})$의 경쟁률을 달성한다.
• $m$-부분모듈라 함수의 경우, 단지 $O(1)$의 단기 목록으로 $1 - \epsilon$의 경쟁률을 달성한다.
• 메모리 버퍼 크기가 $O(k)$인 스트리밍 모델에서 알고리즘을 구현할 수 있으며, 오프라인 단기 목록 버전과 동일한 근사 요소를 달성한다.
• 이 결과는 이전의 최고 스트리밍 근사 요소인 $1/2 + 8 \times 10^{-14}$를 초월하며, 이는 $O(k \log k)$ 메모리가 필요로 했던 바 있다.
• 단기 목록 완화 하에 경쟁률은 부분모듈라 문제의 클래스에서 달성 가능한 최고의 알려진 요소인 $1 - 1/e$에 수렴한다.
• 단기 목록 완화는 단지 약간의 단기 목록 크기 증가로도 근사 품질을 크게 향상시킬 수 있다.