[논문 리뷰] Subordination of Hilbert space valued Lévy processes

Fred Espen Benth, Paul Krühner|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 27.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 22인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 레비 과정의 다변량 순서화를 힐버트 공간에 값이 있는 레비 과정으로 일반화하며, 적분 가능성과 마틴갈 성질을 위한 조건을 수립한다. 이는 원통형 브라운 운동을 역 가우시안 순서화자로 순서화하여 무한차원 레비 과정, 예를 들어 힐버트 공간에 값이 있는 정규 역 가우시안 과정을 구성함으로써, 유한차원 사영이 다변량 정규 역 가우시안 분포를 따르도록 보장한다.

ABSTRACT

We generalise multivariate subordination of Lévy processes as introduced by Barndorff-Nielsen, Pedersen, and Sato to Hilbert space valued Lévy processes. The processes are explicitly characterised and conditions for integrability and martingale properties are derived under various assumptions of the Lévy process and subordinator. As an application of our theory we construct explicitly some Hilbert space valued versions of Lévy processes which are popular in the univariate and multivariate case. In particular, we define a normal inverse Gaussian Lévy process in Hilbert space as a subordination of a Hilbert space valued Wiener process by an inverse Gaussian Lévy process. The resulting process has the property that at each time all its finite dimensional projections are multivariate normal inverse Gaussian distributed as introduced in Rydberg(97).

연구 동기 및 목표

• 레비 과정의 다변량 순서화를 힐버트 공간에 값이 있는 과정의 무한차원 설정으로 확장한다.
• 순서화된 힐버트 공간에 값이 있는 레비 과정의 레비 특성과 특성 함수를 특성화한다.
• 순서화된 과정에서 일阶 및 이阶 모멘트의 존재를 위한 충분 조건을 유도한다.
• 해당 과정의 유한차원 사영이 알려진 다변량 분포와 일치함을 보장한다.
• 해당 과정의 유한차원 사영이 알려진 다변량 분포, 예를 들어 다변량 정규 역 가우시안 분포와 일치함을 보장한다.

제안 방법

• 독립적인 힐버트 공간에 값이 있는 레비 과정 $L_j$ 에 독립적인 순서화자 $\Theta_j$ 를 적용하여 $X(t) = (L_1(\Theta_1(t)), \dots, L_d(\Theta_d(t)))$ 를 구성한다.
• 기본 레비 과정과 순서화자의 특성으로부터 순서화된 과정의 레비 지수와 특성을 유도한다.
• 공분산 연산자와 레비 측도를 사용하여 이阶 모멘트의 구조를 특성화하며, $\mathrm{Tr}(Q)$ 와 $\int_{|x|\leq 1}|x|^2\nu(dx)$ 에 대한 조건이 적분 가능성을 보장한다.
• 과정의 생성자와 $UC_b^2$ 에 속한 테스트 함수의 도함수의 유계성에 의해 마틴갈 성질을 분석한다.
• 원통형 브라운 운동을 역 가우시안 순서화자로 순서화하여 힐버트 공간에 값이 있는 정규 역 가우시안 과정을 구성한다.
• 레미마를 사용하여 증분과 잘라낸 과정의 기대값을 유계화하며, 생성자와 잘라내기 함수 $\chi(x) = x \mathbf{1}_{\{|x|\leq 1\}}$ 를 통해 균일 연속성과 모멘트 유계성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순서화된 힐버트 공간에 값이 있는 레비 과정 $X(t) = (L_1(\Theta_1(t)), \dots, L_d(\Theta_d(t)))$ 가 잘 정의되고 확률적으로 연속적인가?
• RQ2 기본 레비 과정과 순서화자가 주어졌을 때, 순서화된 과정의 일阶 및 이阶 모멘트가 존재하기 위한 필수 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ3 순서화된 힐버트 공간에 값이 있는 레비 과정이 마틴갈이 되는 조건은 무엇이며, 이는 기본 과정과 순서화자의 특성에 어떻게 의존하는가?
• RQ4 순서화 프레임워크를 사용하여 유명한 단변량 및 다변량 레비 과정, 예를 들어 정규 역 가우시안 과정의 무한차원 해석을 구성할 수 있는가?
• RQ5 순서화된 힐버트 공간에 값이 있는 과정의 유한차원 사영이 알려진 다변량 분포, 예를 들어 다변량 정규 역 가우시안 분포를 회복하는가?

주요 결과

• 순서화된 힐버트 공간에 값이 있는 레비 과정 $X(t)$ 는 잘 정의된 레비 과정이며, 그 특성 함수와 레비 트리플렛이 기본 과정과 순서화자의 형태로 명시적으로 표현된다.
• 이阶 모멘트가 존재하기 위해서는 $\mathrm{Tr}(Q) < \infty$ 와 $\int_{|x|\leq 1}|x|^2\nu(dx) < \infty$ 가 필요하며, 추가로 순서화자의 레비 측도에 대한 적분 가능성 조건이 필요하다.
• 기본 과정의 드리프트 $b$ 와 순서화자의 특성이 특정 균형 조건을 만족할 경우 과정은 마틴갈이 된다. 특히 순서화자가 영 드리프트를 가지며 0 근처에서 유한한 활동도를 가지는 경우에 해당된다.
• 힐버트 공간에 값이 있는 정규 역 가우시안 과정은 원통형 브라운 운동을 역 가우시안 순서화자로 순서화하여 구성되며, 그 유한차원 사영은 다변량 정규 역 가우시안 분포를 따른다.
• 잘라낸 과정 $\chi(L(\theta))$ 의 기대값은 어떤 상수 $C$ 에 대해 $C|\theta|$ 이하로 유계화되며, 이는 $\theta \in \mathbb{R}_+^d$ 에 대해 균일하다. 이는 안정성과 적분 가능성을 보장한다.
• 모든 $f \in UC_b^2$ 에 대해, 기대값 $\mathbb{E}[f(L(\theta))]$ 는 $|\mathbb{E}[f(L(\theta))] - f(0)| \leq C \sum_{j=1}^d \theta_j$ 를 만족하며, 여기서 $C$ 는 $f$ 와 그 일阶 및 이阶 도함수의 상한과 $L$ 의 특성에 따라 결정된다.