[논문 리뷰] Substitution for Non-Wellfounded Syntax with Binders Through Monoidal Categories

Ralph Matthes, Kobe Wullaert외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 08. 10.

Logic, programming, and type systems인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 모나드적 치환을 사용하는 비-잘정의된 구문과 바인더를 포함한 구조를, 모나드적 카테고리와 강한 함자들을 통해 범주론적 프레임워크로 제시한다. 비-잘정의된 구문과 잘정의된 구문을 균일하게 다룰 수 있는 모나드적 이종 치환 체계를 도입하여, 서명 함자에 대해 ω-연속성을 증명하고, 전체 구조를 UniMath/Coq에서 형식화한다.

ABSTRACT

We describe a generic construction of non-wellfounded syntax involving variable binding and its monadic substitution operation. Our construction of the syntax and its substitution takes place in category theory, notably by using monoidal categories and strong functors between them. A language is specified by a multi-sorted binding signature, say Σ. First, we provide sufficient criteria for Σ to generate a language of possibly infinite terms, through ω-continuity. Second, we construct a monadic substitution operation for the language generated by Σ. A cornerstone in this construction is a mild generalization of the notion of heterogeneous substitution systems developed by Matthes and Uustalu; such a system encapsulates the necessary corecursion scheme for implementing substitution. The results are formalized in the Coq proof assistant, through the UniMath library of univalent mathematics.

연구 동기 및 목표

• 모나드적 카테고리들을 사용하여 비-잘정의된 구문과 변수 바인딩을 위한 일반적이고 범주론적인 구조를 제공하는 것.
• 핵심적 치환을 지원하는 비-잘정의된 구문을 위한 모나드적 치환 연산을 정의하는 것, 이는 이종 치환 체계를 통한 공재귀적 치환을 포함한다.
• 동일한 범주론적 프레임워크 내에서 잘정의된 구문과 비-잘정의된 구문을 통합적으로 다루는 것.
• 전체 구조를 UniMath/Coq에서 형식화하여, 유니발런트 기초 내에서 정확성을 보장하는 것.
• 단순형 추상형 람다계산에서 무한한 탐색 공간을 공재귀적 구문을 통해 표현할 수 있도록 하는 것.

제안 방법

• 다중-정의된 바인딩 서명을 사용하여 언어를 기술하고, 이러한 서명으로부터 생성된 함자들을 적용하는 것.
• 비-잘정의된 구문을 위한 최종 코알제브라의 존재를 보장하기 위해 ω-연속성 기준을 적용하는 것.
• 공재귀적 치환을 지원하기 위해 Matthes와 Uustalu의 체계를 일반화한 모나드적 이종 치환 체계를 도입하는 것.
• 텐서 형 강도와 액티고리들을 사용하여 모나드적 카테고리 내에서 치환을 모델링하는 것.
• 최종 코알제브라와 강도를 통한 모나드적 치환 연산을 구성하여, 이가 이분형과 α-등가성과 호환됨을 보장하는 것.
• 유니발런트 기초를 사용하여 UniMath/Coq에서 모든 결과를 형식화하고, 집합의 범주에서의 구체적 적용 사례를 제공하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비-잘정의된 구문과 바인더를 포함한 언어를, 잘정의된 구문도 지원하는 범주론적 프레임워크 내에서 균일하게 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 서명 함자에 대해 최종 코알제브라의 존재를 보장하기 위한 범주론적 조건는 무엇인가?
• RQ3 비-잘정의된 구문에 대해 α-등가성과 이분형을 존중하는 방식으로 치환을 어떻게 공재귀적으로 정의할 수 있는가?
• RQ4 모나드적 이종 치환 체계는 잘정의된 구문과 비-잘정의된 구문을 동시에 다룰 수 있는 단일 프레임워크로 일반화될 수 있는가?
• RQ5 이러한 체계는 Coq와 같은 증명 보조도구를 사용하여 유니발런트 기초 내에서 어떻게 형식적으로 검증할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 관련 서명 함자에 대해 ω-연속성을 만족함으로써, 다중-정의된 바인딩 서명이 비-잘정의된 구문 언어를 생성하는 데 필요한 충분한 조건를 확립한다.
• 이들은 비-잘정의된 구문을 위한 모나드적 치환 연산을 이종 치환 체계의 일반화를 통해 구성하여, 공재귀적 치환을 가능하게 한다.
• 이 프레임워크는 모나드적 카테고리와 강한 함자를 사용하여, 잘정의된 구문과 비-잘정의된 구문을 동일한 범주론적 기계장치 내에서 통합적으로 다룬다.
• 모든 결과는 UniMath/Coq에서 형식적으로 검증되었으며, 집합의 범주에서의 구체적 적용 사례를 제공하여, 유니발런트 기초 내에서 비-잘정의된 구문과 바인딩을 형식적으로 구성한다.
• 이 접근법은 단순형 추상형 람다계산에서 무한한 탐색 공간을 공재귀적 표현으로 표현할 수 있도록 하며, 잘형식화된 치환 연산이 유지된다.