[논문 리뷰] Succinctness of the Complement and Intersection of Regular Expressions

Wouter Gelade, Frank Neven|2008. 02. 20.

semigroups and automata theory참고 문헌 29인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 정규 표현식의 보수 및 교차에 대한 압축성에 대한 날카운 하한을 확립하며, 정규 표현식의 보수화는 이중 지수 크기 증가를 요구할 수 있음을 증명하고, k개의 정규 표현식을 교차시킬 경우 k가 유계가 아닐 때 이중 지수 크기 증가가 발생할 수 있음을 보여준다. 저자들은 이러한 하한이 피할 수 없음을 보여주는 명시적 정규 표현식 가족을 구성하였으며, 한 번만 등장하는 표현식의 경우 보수화는 다항시간 내로 계산 가능하지만, 교차는 여전히 지수적으로 어려운 것으로 나타났다.

ABSTRACT

We study the succinctness of the complement and intersection of regular expressions. In particular, we show that when constructing a regular expression defining the complement of a given regular expression, a double exponential size increase cannot be avoided. Similarly, when constructing a regular expression defining the intersection of a fixed and an arbitrary number of regular expressions, an exponential and double exponential size increase, respectively, can in worst-case not be avoided. All mentioned lower bounds improve the existing ones by one exponential and are tight in the sense that the target expression can be constructed in the corresponding time class, i.e., exponential or double exponential time. As a by-product, we generalize a theorem by Ehrenfeucht and Zeiger stating that there is a class of DFAs which are exponentially more succinct than regular expressions, to a fixed four-letter alphabet. When the given regular expressions are one-unambiguous, as for instance required by the XML Schema specification, the complement can be computed in polynomial time whereas the bounds concerning intersection continue to hold. For the subclass of single-occurrence regular expressions, we prove a tight exponential lower bound for intersection.

연구 동기 및 목표

• 주어진 정규 표현식의 보수를 위한 정규 표현식을 구성할 때 발생할 수 있는 최악의 크기 증가를 결정하는 것.
• 특히 유한한 수와 임의의 수의 정규 표현식을 교차시킬 경우의 압축성 분석.
• 보수화나 교차가 더 효율적으로 계산될 수 있는 자연스러운 정규 표현식의 부분집합(예: 한 번만 등장하는 표현식 또는 단일 등장 표현식)을 특정하는 것.
• Ehrenfeucht과 Zeiger의 DFA에서 정규 표현식으로의 압축성 결과를 고정된 사자 알파벳(4자)으로 일반화하는 것.
• 기존 알고리즘의 수행 시간과 일치하는 날카운 복잡도 하한을 제공하여 알고리즘의 최적성을 확립하는 것.

제안 방법

• Ehrenfeucht-Zeiger 언어 $Z_n$의 이진 표현을 인코딩하여 4자 알파벳 상에서 언어 $K_n$의 가족을 구성한다. 이 언어들은 크기 $\mathcal{O}(n^2)$인 DFA에 의해 수용되지만, 정규 표현식으로서는 최소 $2^n$의 크기가 필요하다.
• 크기 $\mathcal{O}(n^2)$인 두 정규 표현식 $r_n$과 $s_n$을 정의하여 그 교차가 $M_n$과 같게 한다. $M_n$은 최소 $2^{n-1}$ 크기의 정규 표현식이 필요하므로, 이는 교차에 대한 지수 하한을 증명한다.
• 크기 $\mathcal{O}(n)$인 $m = 2n+1$개의 한 번만 등장하는 정규 표현식을 구성하여 그 교차가 $L_{2^n}$을 정의한다. $L_{2^n}$은 최소 $2^{2^n}$ 크기의 정규 표현식이 필요하므로, 이 부분집합에서의 이중 지수 하한을 확립한다.
• Glushkov 구성법을 사용하여 구성된 한 번만 등장하는 표현식이 결정성 유한 오토마타를 유도함을 확인함으로써, 그 구조적 성질을 확인한다.
• 한 번만 등장하는 정규 표현식의 보수는 다항시간 내로 계산 가능하지만, 일반적인 보수화는 이중 지수 수준임을 증명한다.
• 보수 및 교차 표현식을 구성하는 데 소요되는 시간 복잡도 하한을 제시하여, 하한이 날카롭고 표준 알고리즘의 시간 복잡도와 일치함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 정규 표현식의 보수를 위한 정규 표현식을 구성할 때 최소한으로 발생하는 크기 증가는 얼마인가요?
• RQ2 k개의 정규 표현식을 교차시킬 때, 특히 k가 고정되어 있거나 무한할 경우 최소한으로 발생하는 크기 증가는 얼마인가요?
• RQ3 어떤 자연스러운 정규 표현식 부분집합에 대해 보수 연산을 다항시간 내로 계산할 수 있으며, 만약 가능하다면 어떤 부분집합인가요?
• RQ4 고정된 작은 알파벳(예: 4자)에서 DFA와 정규 표현식 사이의 정확한 압축성 격차는 무엇인가요?
• RQ5 보수와 교차 모두 다항시간 내로 계산 가능한 정규 표현식의 부분집합이 존재하는가요?

주요 결과

• 정규 표현식의 보수화는 최악의 경우 이중 지수 크기 증가를 요구하며, 이 하한은 날카롭다: 이보다 더 작은 표현식으로는 보수를 정의할 수 없다.
• k개의 정규 표현식의 교차는 k가 무한할 경우 이중 지수 크기 증가를 요구하며, 이 하한 역시 날카롭다.
• 고정된 수 k개의 정규 표현식에 대해 교차는 지수 시간 내로 계산 가능하며, 이는 최적이다: 최악의 경우 지수 크기 증가는 피할 수 없다.
• 한 번만 등장하는 정규 표현식의 경우 보수는 다항시간 내로 계산 가능하지만, 결과로 나온 표현식은 여전히 한 번만 등장하는 성질을 유지하지 않을 수 있다.
• 단일 등장 정규 표현식의 경우 교차 연산은 지수 크기 증가를 유발하며, 이 하한은 날카롭다.
• 크기 $\mathcal{O}(n)$인 한 번만 등장하는 정규 표현식의 가족이 존재하며, 그 교차는 최소 $2^{2^n}$ 크기의 정규 표현식이 필요함을 보여주며, 이는 이중 지수 크기 증가를 입증한다.