[논문 리뷰] Super edge-magic deficiency of join-product graphs

Anak Agung Gede Ngurah, Rinovia Simanjuntak|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 18.

Graph Labeling and Dimension Problems참고 문헌 1인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 윤곽선 그래프의 초변치 마법 결합 부족을 조사하며, 특히 한 개의 레버지(스포크)를 제거한 휠 그래프와 고립 정점과의 결합 그래프인 경로, 별, 원형 그래프의 조합을 다룬다. 이러한 그래프가 유한한 초변치 마법 결합 부족을 가짐을 증명하고, 특정 가족에 대해 좁은 상한과 하한을 설정하며, 특히 $K_{1,n} + \overline{K_m}$ 및 $C_n + \overline{K_m}$에 대해 일반화하여, 고립 정점과의 결합에 대해 유한한 결합 부족을 보장하는 라벨링 구성 기법을 통해 초변치 마법 그래프의 일반화된 결과를 도출한다.

ABSTRACT

A graph $G$ is called extit{super edge-magic} if there exists a bijective function $f$ from $V(G) \cup E(G)$ to $\{1, 2, \ldots, |V(G) \cup E(G)|\}$ such that $f(V(G)) = \{1, 2, \ldots, |V(G)|\}$ and $f(x) + f(xy) + f(y)$ is a constant $k$ for every edge $xy$ of $G$. Furthermore, the extit{super edge-magic deficiency} of a graph $G$ is either the minimum nonnegative integer $n$ such that $G \cup nK_1$ is super edge-magic or $+\infty$ if there exists no such integer. \emph{Join product} of two graphs is their graph union with additional edges that connect all vertices of the first graph to each vertex of the second graph. In this paper, we study the super edge-magic deficiencies of a wheel minus an edge and join products of a path, a star, and a cycle, respectively, with isolated vertices.

연구 동기 및 목표

• 모든 스포크가 제거된 휠 그래프인 $W_n - \{e\}$의 초변치 마법 결합 부족을 결정하고, 그 유한성을 입증한다.
• 고립 정점과의 결합 그래프인 $P_n + \overline{K_m}$, $K_{1,n} + \overline{K_m}$, $C_n + \overline{K_m}$의 초변치 마법 결합 부족을 분석한다.
• 모든 초변치 마법 그래프와 $m$개의 고립 정점의 결합이 유한한 초변치 마법 결합 부족을 가짐을 일반화한다.
• $K_{1,n} + \overline{K_m}$ 및 $C_n + \overline{K_m}$의 결합 부족에 대해 다양한 $n$과 $m$에 대해 좁은 상한과 하한을 제공한다.
• 미해결 문제를 제기하여 향후 연구를 위한 방향을 제시한다: 상한 향상 및 특정 그래프 가족에 대한 정확한 결합 부족 값 결정.

제안 방법

• 레미마 1을 사용하여 초변치 마법 그래프를 정점 라벨링을 통해 특성화하며, 간선 합이 $q$개의 연속 정수 집합을 이루도록 한다.
• 레미마 2를 적용하여 초변치 마법 그래프가 되기 위한 필요 조건인 $q \leq 2p - 3$을 도출한다.
• $K_{1,n} + \overline{K_m}$에 대해 명시적인 정점 라벨링을 구성하며, 값 $\{n+2\}, \{2,3,\dots,n+1\}, \{1, 2(n+1), \dots, m(n+1)\}$을 사용하여 정해진 마법 상수를 갖는 초변치 마법 라벨링을 달성한다.
• 홀수 $n$에 대해 $C_n + \overline{K_m}$의 정점 라벨링을 인덱스의 홀짝성에 기반하여 정의하고, 고립 정점에 값 $\{1, 2n+1, 3n+1, \dots, mn+1\}$을 할당한다.
• 라벨링 확장 기법을 사용하여 $t$개의 고립 정점을 추가할 경우 그래프가 초변치 마법이 될 수 있음을 보여주며, 이는 결합 부족을 유계로 둔다.
• 초변치 마법 그래프 $G$에 대해 일반화된 구성 기법을 적용하여 $m$개의 고립 정점에 라벨 $\{s, s+|V(G)|, \dots, s+(m-1)|V(G)|\}$을 할당하며, 여기서 $s = \max\{f(u)+f(v) \mid uv \in E(G)\}$이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 스포크가 제거된 휠 그래프인 $W_n - \{e\}$ ($n \geq 3$)의 초변치 마법 결합 부족은 무엇인가?
• RQ2 $K_{1,n} + \overline{K_m}$의 초변치 마법 결합 부족에 대해 좁은 상한과 하한은 무엇인가?
• RQ3 $n$이 짝수일 경우 $C_n + \overline{K_m}$의 초변치 마법 결합 부족에 대해 상한을 설정할 수 있는가?
• RQ4 모든 초변치 마법 그래프 $G$에 대해 $G + \overline{K_m}$의 초변치 마법 결합 부족은 유한한가?
• RQ5 $K_{1,n} + \overline{K_m}$에서 고정된 $n$ 또는 $m$에 대해 $\mu_s(G + \overline{K_m})$의 정확한 값은 무엇인가?

주요 결과

• 에 bord $H_n \cong W_n - \{e\}$ (여기서 $e$는 스포크)는 $n \leq 4$일 때에만 초변치 마법이 되며, 따라서 $n \leq 4$일 경우 결합 부족이 0이다.
• $n, m \geq 2$인 $K_{1,n} + \overline{K_m}$에 대해 초변치 마법 결합 부족은 $\lceil \frac{1}{2}(n-1)(m-1) \rceil \leq \mu_s(K_{1,n} + \overline{K_m}) \leq n(m-1) - 1$을 만족한다.
• 홀수 $n \geq 3$에 대해 $C_n + \overline{K_m}$의 초변치 마법 결합 부족은 $\mu_s(C_n + \overline{K_m}) \leq mn - (n + m) + 1$을 만족한다.
• $n \geq 3$, $m \geq 2$일 때 $C_n + \overline{K_m}$의 하한은 $\lfloor \frac{1}{2}(m+1)n \rfloor - (n + m) + 2$이다.
• 모든 초변치 마법 그래프 $G$에 대해 $G + \overline{K_m}$는 유한한 초변치 마법 결합 부족을 가지며, $\mu_s(G + \overline{K_m}) \leq s + (m-2)|V(G)| - m$로 유계로 둔다. 여기서 $s = \max\{f(u)+f(v) \mid uv \in E(G)\}$이다.
• 논문은 모든 초변치 마법 그래프와 고립 정점의 결합이 유한한 초변치 마법 결합 부족을 갖는 그래프를 만든다는 것을 입증하며, 이는 이전의 경로, 별, 원형 그래프에 대한 결과를 일반화한다.