[논문 리뷰] Superconducting phase in the BCS model with imaginary magnetic field

Yohei Kashima|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 20.

Physics of Superconductivity and Magnetism참고 문헌 23인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 그라스만 가우시안 적분 표현과 双스케일 적분 기법을 사용하여, 허수 외부 자장을 갖는 축소된 4차 BCS 모형에서 자발적 U(1)-대칭 붕괴(SPB)와 비대각선 장거리 순서(ODLRO)를 증명한다. 주요 결과는 기존 BCS 모형이 실패하는 고온·약한 결합 영역에서도 순수 허수 결합을 통해 스핀-z 연산자에 영향을 주는 방식으로 갭 방정식이 수정되어 초전도 상태가 가능해지며, 이에 따라 SSB와 ODLRO가 나타남을 보여준다.

ABSTRACT

We prove that in the reduced quartic BCS model with an imaginary external magnetic field a spontaneous U(1)-symmetry breaking (SSB) and an off-diagonal long range order (ODLRO) occur. The system is defined on a hyper-cubic lattice with periodic boundary conditions at positive temperature. In the free part of the Hamiltonian we assume the nearest-neighbor hopping. The chemical potential is fixed so that the free Fermi surface does not degenerate. The term representing the interaction between electrons' spin and the imaginary external magnetic field is the z-component of the spin operator multiplied by a pure imaginary parameter. The SSB and the ODLRO are shown in the infinite-volume limit of the thermal average over the full Fermionic Fock space. The magnitude of the negative coupling constant must be larger than a certain value so that the gap equation is solvable. The gap equation is different from that of the conventional mean field BCS model because of the presence of the imaginary magnetic field. By adjusting the imaginary magnetic field this model shows the SSB and the ODLRO in high temperature, weak coupling regimes where the conventional reduced BCS model does not show these phenomena. The proof is based on Grassmann Gaussian integral formulations and a double-scale integration scheme to analytically control the formulations.

연구 동기 및 목표

• 허수 외부 자장이 작용하는 축소된 BCS 모형에서 자발적 U(1)-대칭 붕괴(SPB)와 비대각선 장거리 순서(ODLRO)의 존재를 확립하는 것.
• 기존 BCS 이론이 SSB나 ODLRO를 나타내지 못하는 고온·약한 결합 영역으로 초전도성 이론의 수학적 분석을 강결합 영역을 초월해 확장하는 것.
• 무한체적 극한에서 전체 페르미온 Fock 공간 열평균을 제어할 수 있는 엄밀한 장 이론 프레임워크를 구축하는 것.
• 허수 자장 항(스핀-z 연산자에 비례)의 포함이 갭 방정식을 어떻게 수정하여 이전에는 접근 불가능했던 매개변수 영역에서 초전도 순서를 가능하게 하는지 보여주는 것.
• 그라스만 적분 표현에서 수정항의 무한체적 극한이 구성적으로 증명되어 SSB와 ODLRO 결과의 타당성을 보장하는 것.

제안 방법

• 주기적 경계 조건과 고정된 화학적 포텐셜을 갖는 초입방형 격자 위에서 BCS 해밀토니안을 수립하고, 비퇴화된 자유 페르미 표면을 보장하는 조건을 설정한다.
• 스핀-z 연산자(Sz)에 순수 허수 결합을 도입하여 허수 외부 자장을 도입함으로써 해밀토니안의 상호작용 항을 수정한다.
• 그라스만 가우시안 적분 표현을 사용하여 거대통계적 분할 함수를 표현함으로써 페르미온 함수적 적분 기법을 적용할 수 있도록 한다.
• 이중스케일 적분 기법을 적용하여 그라스만 적분을 분석적으로 제어하며, 비가우시안 상호작용 항을 다룰 수 있도록 적분을 두 단계로 분리한다.
• 트리 전개와 행렬식 추정치(Pedra-Salmhofer)를 사용하여 결합 상수에 대한 급수 전개의 수렴성을 추정한다.
• 인공 매개변수(λ1, λ2)와 Kac 유형 정규화를 도입하여 통합 과정 중 해석성과 수렴성을 확보하고, 이후 물리적 모형을 회복하기 위해 극한을 취한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 허수 자장이 작용하는 축소된 BCS 모형에서 자발적 U(1)-대칭 붕괴와 비대각선 장거리 순서를 엄밀히 확립할 수 있는가?
• RQ2 허수 자장 항의 포함이 고온·약한 결합 영역에서 기존 BCS 모형이 SSB나 ODLRO를 나타내지 못하는 조건에서도 초전도 순서를 가능하게 하는가?
• RQ3 허수 자장의 존재는 기존 평균장 BCS 모형과 비교해 갭 방정식을 어떻게 수정하는가?
• RQ4 이 모형에서 전체 페르미온 Fock 공간에 대한 열평균의 무한체적 극한이 잘 정의되어 있고 비자명한가?
• RQ5 이중스케일 적분 기법과 결합된 그라스만 적분 표현이 이 비자명한 영역에서 상관 함수를 엄밀히 제어할 수 있는가?

주요 결과

• 허수 외부 자장이 작용하는 축소된 4차 BCS 모형의 무한체적 극한에서 자발적 U(1)-대칭 붕괴(SPB)와 비대각선 장거리 순서(ODLRO)가 엄밀히 증명되었다.
• 이 모형은 고온·약한 결합 영역에서도 SSB와 ODLRO를 나타내며, 이는 허수 자장에 의해 수정된 갭 방정식 덕분이며, 전통적인 BCS 모형이 실패하는 조건에서도 성립한다.
• 이 모형의 갭 방정식은 허수 자장의 존재로 인해 표준 BCS 평균장 방정식과 다름을 보이며, 효과적 쌍성 상호작용에 비자명한 이동을 유도한다.
• 그라스만 적분 표현에서 수정항의 무한체적 극한 존재성이 증명되어, SSB와 ODLRO를 도출하는 데 사용된 급수 전개의 수렴성을 보장한다.
• 이중스케일 적분 기법과 트리 전개, 행렬식 추정치(Pedra-Salmhofer)를 조합하여 그라스만 적분을 성공적으로 제어하였으며, 전체 Fock 공간에서 비추상적 결과를 도출할 수 있었다.
• 간극 방정식이 해를 갖기 위해서는 음의 결합 상수가 임계 임계값을 초과해야 하며, 이는 모형 내에서 상전이 임계점이 존재함을 시사한다.