[논문 리뷰] Supergravity as Generalised Geometry II: $E_{d(d)} imes \mathbb{R}^+$ and M theory

André Coimbra, Charles Strickland‐Constable외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 12. 07.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 37인용 수 39

한 줄 요약

이 논문은 11차원 초중력이론을 일반화된 기하학으로 확장하여 $E_{d(d)} \times \mathbb{R}^+$ 구조군과 국소적 $\tilde{H}_d$ 대칭성을 도입하고, 일반화된 Levi-Civita 접속 $D$를 통해 보존장과 페르미온장을 통합한다. 주요 결과는 중성비 $\psi$와 스핀-3/2 장 $\rho$의 운동 방정식이 $\not{D}\psi + \frac{11-d}{9-d}D\!\!\curlywedge\!\rho = 0$ 및 $D\!\!\curlyvee\!\psi + \not{D}\rho = 0$로 압축적으로 표현되며, $d=4$와 $d=7$에 대해 $\tilde{H}_4 = Spin(5)$ 및 $\tilde{H}_7 = SU(8)$ 표현을 사용하여 명시적인 형태가 제시된다.

ABSTRACT

We reformulate eleven-dimensional supergravity, including fermions, in terms of generalised geometry, for spacetimes that are warped products of Minkowski space with a $d$-dimensional manifold $M$ with $d\leq7$. The reformation has a $E_{d(d)} imes \mathbb{R}^+$ structure group and is has a local $ ilde{H}_d$ symmetry, where $ ilde{H}_d$ is the double cover of the maximally compact subgroup of $E_{d(d)}$. The bosonic degrees for freedom unify into a generalised metric, and, defining the generalised analogue $D$ of the Levi-Civita connection, one finds that the corresponding equations of motion are the vanishing of the generalised Ricci tensor. To leading order, we show that the fermionic equations of motion, action and supersymmetry variations can all be written in terms of $D$. Although we will not give the detailed decompositions, this reformulation is equally applicable to type IIA or IIB supergravity restricted to a $(d-1)$-dimensional manifold. For completeness we give explicit expressions in terms of $ ilde{H}_4=\mathit{Spin}(5)$ and $ ilde{H}_7=\mathit{SU}(8)$ representations for $d=4$ and $d=7$.

연구 동기 및 목표

• 11차원 초중력이론을 $d \leq 7$에 대해 명시적인 $E_{d(d)} \times \mathbb{R}^+$ 대칭성을 갖는 일반화된 기하학으로 확장하는 것.
• 중성비 $\psi$와 스핀-3/2 장 $\rho$와 같은 페르미온 자유도를 일반화된 기하학적 프레임워크에 포함하는 것.
• 초대칭 대수학과 페르미온의 운동 방정식이 일반화된 접속 $D$에 자연스럽게 포함됨을 보여주는 것.
• $\tilde{H}_4 = Spin(5)$ 및 $\tilde{H}_7 = SU(8)$ 표현을 사용하여 $d=4$와 $d=7$에 대한 명시적 실현을 제공하는 것.

제안 방법

• 일반화된 메트릭 $G$와 비틀림이 없고 메트릭에 호환되는 일반화된 접속 $D$를 사용하여 보존 부문을 기술하고, 운동 방정식은 일반화된 리치 텐서 $R_{AB} = 0$의 영함으로 주어진다.
• $\tilde{H}_d$-변형 연산자인 $\not{D}$, $D\!\!\curlywedge$, $D\!\!\curlyvee$를 정의하여 일반화된 접속을 $\psi$ 및 $\rho$ 표현으로 투영한다.
• 페르미온의 운동 방정식을 $\not{D}\psi + \frac{11-d}{9-d}D\!\!\curlywedge\!\rho = 0$ 및 $D\!\!\curlyvee\!\psi + \not{D}\rho = 0$로 구성하며, 이는 페르미온에 대해 주로 일阶로 유효하다.
• $E_{d(d)} \times \mathbb{R}^+$ 표현 이론을 사용하여 장과 접속을 분해하고, $d=4$와 $d=7$에 대해 명시적인 표현을 유도한다.
• 스핀어와 텐서 투영을 위해 $\not{V}$, $V\!\!\curlywedge$, $V\!\!\curlyvee$를 활용하여 스핀어 $S^\pm$과 랭크-$p$ 텐서 $J^\pm$에 대한 작용을 정의한다.
• 페르미온의 동역학과 초대칭 변형이 모두 일반화된 접속 $D$에 명시적으로 포함됨을 검증하여 국소적 $\tilde{H}_d$ 대칭성이 명백하게 유지됨을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 11차원 초중력이론은 어떻게 명시적인 $E_{d(d)} \times \mathbb{R}^+$ 대칭성을 갖는 일반화된 기하학으로 재구성될 수 있는가?
• RQ2 페르미온 장 $\psi$와 $\rho$는 일반화된 접속 $D$에 어떻게 포함되는가?
• RQ3 일반화된 기하학적 프레임워크에서 페르미온의 운동 방정식의 형태는 무엇인가?
• RQ4 $\tilde{H}_d$-변형 연산자 $D\!\!\curlywedge$와 $D\!\!\curlyvee$는 일반화된 접속을 $\psi$와 $\rho$ 표현으로 어떻게 투영하는가?
• RQ5 $d=4$와 $d=7$에 대해 $\tilde{H}_4 = Spin(5)$ 및 $\tilde{H}_7 = SU(8)$를 사용할 때 어떤 명시적 표현이 도출되는가?

주요 결과

• 중성비 $\psi$와 스핀-3/2 장 $\rho$의 운동 방정식은 $\not{D}\psi + \frac{11-d}{9-d}D\!\!\curlywedge\!\rho = 0$ 및 $D\!\!\curlyvee\!\psi + \not{D}\rho = 0$로 압축적으로 표현되며, $D$는 비틀림이 없고 메트릭에 호환되는 일반화된 접속이다.
• $d=7$일 경우, 페르미온의 운동 방정식은 $-\frac{1}{12}\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta\delta'\theta_1\theta_2\theta_3}D^{\delta\delta'}\psi^{\theta_1\theta_2\theta_3} + 2\bar{D}_{[\alpha\beta]}\bar{\rho}_{\gamma]} = 0$ 및 $-\frac{1}{2}\bar{D}_{\beta\gamma}\psi^{\alpha\beta\gamma} + D^{\alpha\beta}\bar{\rho}_{\beta} = 0$로 간소화되며, 놀랍도록 압축된 형태를 이룬다.
• 일반화된 접속 $D$는 전체 초대칭 대수학과 페르미온의 동역학을 포함하며, $\tilde{H}_d$-변형 연산자가 국소 대칭성을 명시적으로 보장한다.
• $\hat{\chi}^+ \times_{\text{ad}P^\perp} \hat{\chi}^-$의 상은 $\text{ad}P^\perp$의 $\tilde{H}_d$ 스칼라 부분에 속하며, 결과는 $\frac{2}{9-d}\bar{\hat{\chi}}^-\hat{\chi}^+$이다.
• $\not{V}$, $V\!\!\curlywedge$, $V\!\!\curlyvee$가 스핀어와 텐서에 작용하는 방식은 명시적으로 계산되었으며, $\Gamma$-행렬, 스핀 접속 $\omega_{ab}$, 그리고 장 강도 $\sigma_{a_1\dots a_5}$, $\tau_{a,b_1\dots b_7}$를 포함하는 구성요소를 포함한다.
• 이 형식은 $d-1$차원 다양체 위의 IIA 및 IIB 초중력으로도 확장되며, 동일한 일반화된 기하학적 구조와 $D$-기반 방정식을 유지한다.