[논문 리뷰] Supersymmetric field theories and cohomology

Pokman Cheung|ArXiv.org|2008. 11. 14.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 학위논문은 1차원 및 2차원 초대칭 양자장 이론의 카테고리에 대한 분류 공간을 구축하며, 그 분류 공간이 각각 주기적 KO 이론과 타원형 코homology(특히 태트 곡선)을 실현함을 보여준다. 슈퍼카테고리와 슈퍼기하학적 구조를 갖춘 보르지즘 카테고리들을 사용하여, 저자는 슈톨츠-티히너의 (1|1)-차원 초유클리드 장 이론의 분류 공간이 KO_n 또는 K_n을 나타내며, 고리형 장 이론은 K_Tate 스펙트럼의 n번째 공간을 제공함을 증명한다.

ABSTRACT

This is the Ph.D. dissertation of the author. The project has been motivated by the conjecture that the Hopkins-Miller tmf spectrum can be described in terms of `spaces' of conformal field theories. In this dissertation, spaces of field theories are constructed as classifying spaces of categories whose objects are certain types of field theories. If such a category has a symmetric monoidal structure and its components form a group, by work of Segal, its classifying space is an infinite loop space and defines a cohomology theory. This has been carried out for two classes of field theories: (i) For each integer n, there is a category SEFT_n whose objects are the Stolz-Teichner (1|1)-dimensional super Euclidean field theories of degree n. It is proved that the classifying space |SEFT_n| represents degree-n K or KO cohomology, depending on the coefficients of the field theories. (ii) For each integer n, there is a category AFT_n whose objects are a kind of (2|1)-dimensional field theories called `annular field theories,' defined using supergeometric versions of circles and annuli only. It is proved that the classifying space |AFT_n| represents the degree-n elliptic cohomology associated with the Tate curve. To the author's knowledge, this is the first time the definitions of low-dimensional supersymmetric field theories are given in full detail.

연구 동기 및 목표

• 초대칭 양자장 이론의 공간을 이용한 코homology 이론의 기하학적이고 카테고리적 구축을 제공한다.
• 특히 tmf 스펙트럼과 관련된 타원형 코homology 이론에 대한 기하학적 해석의 부족을 보완하기 위해, 이를 등각장 이론과 연관지킨다.
• (1|1)-차원 초유클리드 장 이론과 (2|1)-차원 고리형 장 이론의 카테고리를 슈퍼기하학을 사용하여 정의하고 엄밀히 구축한다.
• 이러한 카테고리의 분류 공간이 알려진 코homology 이론, 즉 KO 이론과 타원형 코homology를 유도함을 증명한다.
• 문헌에서 처음으로 저차원 초대칭 양자장 이론에 대한 완전하고 상세한 정의를 제공한다.

제안 방법

• 슈퍼카테고리 간의 함자를 사용하여, (1|1)-차원 초유클리드 장 이론의 차수 n에 대한 대칭 모노이드 카테고리 SEFT_n을 정의한다.
• 원과 실린더의 슈퍼기하학적 변형을 사용하여 보르지즘 카테고리를 구성함으로써 고리형 장 이론의 기초를 마련한다.
• 클리포드 모듈 구조와 텐서곱을 사용한 장식된 보르지즘을 이용하여 '고리형 장 이론'의 카테고리 AFT_n을 정의한다.
• 대칭 모노이드 카테고리의 구성 성분이 군 유형일 경우 그 분류 공간은 무한 루프 공간이 되며, 따라서 코homology 이론을 정의함을 시갈의 정리에 기반한다.
• 분류 공간 |SEFT_n|이 장 이론의 계수에 따라 KO 이론 또는 K 이론의 n번째 공간과 호모토피 동치임을 증명한다.
• 분류 공간 |AFT_n|이 태트 곡선과 관련된 타원형 스펙트럼 K_Tate의 n번째 공간과 호모토피 동치임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 (1|1)-차원 초유클리드 장 이론의 카테고리에 대한 분류 공간이 주기적 KO 이론 또는 K 이론을 실현할 수 있는가?
• RQ2 (2|1)-차원 고리형 장 이론의 카테고리가 슈퍼기하학적 고리에 의해 정의될 경우, 타원형 코homology를 실현할 수 있는가?
• RQ3 등각장 이론의 공간을 통해 tmf 스펙트럼을 기하학적이고 장이론 기반으로 구축할 수 있는가?
• RQ4 슈퍼카테고리와 보르지즘 카테고리를 사용하여 저차원에서 초대칭 장 이론을 엄밀히 정의할 수 있는가?
• RQ5 장 이론 카테고리의 대수적 구조와 도출되는 코homology 이론 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 분류 공간 |SEFT_n|은 장 이론의 계수에 따라 KO 이론 또는 K 이론의 n번째 공간과 호모토피 동치이다.
• 분류 공간 |AFT_n|은 태트 곡선과 관련된 타원형 스펙트럼 K_Tate의 n번째 공간과 호모토피 동치이다.
• 이 구축은 문헌에서 처음으로 (1|1)-차원 초대칭 양자장 이론에 대한 완전하고 상세한 정의를 제공한다.
• SEFT_n 카테고리가 대칭 모노이드이며 구성 성분이 군 유형임을 보여주어, 시갈의 무한 루프 공간 구축 조건을 만족함을 증명하였다.
• 고리형 장 이론 카테고리 AFT_n은 슈퍼기하학적 보르지즘과 장식된 클리포드 모듈을 사용하여 구성되었으며, 이는 타원형 코homology의 기하학적 실현을 이끌었다.
• 결과적으로 장 이론 카테고리와 알려진 코homology 이론 사이의 직접적 연결을 확립하였으며, 타원형 코homology와 tmf 관련 스펙트럼에 대한 기하학적 해석을 제공하였다.