[论文解读] Supersymmetric Renyi Entropy and Anomalies in Six-Dimensional (1,0) Superconformal Theories

S. Yankielowicz, Yang Zhou|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 47被引用 10

一句话总结

本文提出了6D (1,0) 超共形场论（SCFTs）中普遍部分的超对称Rényi熵的闭式表达式，表明其为 ν = 1/q 的三次多项式，其系数由't Hooft和引力异常系数决定。关键结果建立了 c 型Weyl异常与异常系数之间的线性关系，并推测其与偶数维中异常多项式的等变积分之间存在联系，该推测已在4D和6D情形中得到验证。

ABSTRACT

A closed formula of the universal part of supersymmetric Rényi entropy $S_q$ for six-dimensional $(1,0)$ superconformal theories is proposed. Within our arguments, $S_q$ across a spherical entangling surface is a cubic polynomial of $ν=1/q$, with $4$ coefficients expressed as linear combinations of the 't Hooft anomaly coefficients for the $R$-symmetry and gravitational anomalies. As an application, we establish linear relations between the $c$-type Weyl anomalies and the 't Hooft anomaly coefficients. We make a conjecture relating the supersymmetric Rényi entropy to an equivariant integral of the anomaly polynomial in even dimensions and check it against known data in four dimensions and six dimensions.

研究动机与目标

• 推导6D (1,0) 超共形场论中超对称Rényi熵的普遍公式。
• 在这些理论中建立 c 型Weyl异常与't Hooft异常系数之间的线性关系。
• 推测超对称Rényi熵与偶数维中异常多项式等变积分之间的一般联系。
• 利用4D和6D SCFTs中的已知数据验证该推测。
• 证明熵的系数完全由异常多项式系数决定。

提出的方法

• 作者将超对称Rényi熵 $ S_q $ 的普遍部分表示为 $ \nu = 1/q $ 的三次多项式，其系数以异常多项式 $ \mathcal{I}_8 $ 中的异常系数的线性组合形式表达。
• 他们利用超对称局部化和共形场论技术，计算在 $ q $-分支球面上的配分函数，通过 $ S_q = \frac{qI_1 - I_q}{1 - q} $ 定义 $ S_q $，其中 $ I_q = -\log Z_q $。
• 该方法依赖于平坦空间中的共形Ward恒等式和应力张量相关函数，其形式由与 $ c_{1,2,3} $ 相关的系数唯一确定，$ c_{1,2,3} $ 为Weyl异常系数。
• 作者通过应力张量和R-当前的连通相关函数计算 $ S_q $ 在 $ q = 1 $ 处的导数，利用 $ [\hat{E}, \hat{Q}] = 0 $ 简化表达式。
• 他们将 $ S_q $ 的二阶和三阶导数表示为连通三线函数 $ \langle TTT \rangle $、$ \langle JJJ \rangle $、$ \langle TTJ \rangle $ 和 $ \langle TJJ \rangle $ 的形式，这些函数由共形对称性完全确定。
• 通过将多项式系数与异常多项式系数 $ \alpha, \beta, \gamma, \delta $ 匹配，最终推导出 $ S^{(1,0)}_\nu $ 的公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 6D (1,0) SCFTs中超对称Rényi熵的普遍部分能否表示为 $ \nu = 1/q $ 的闭式函数？
• RQ2 Rényi熵多项式系数与't Hooft和引力异常系数之间有何关系？
• RQ3 是否存在超对称Rényi熵的几何或拓扑解释，以异常多项式为依据？
• RQ4 能否从Rényi熵结构中推导出 $ c $-型Weyl异常与异常系数之间的线性关系？
• RQ5 Rényi熵与异常多项式等变积分之间所推测的联系在6D SCFTs中是否成立？

主要发现

• 超对称Rényi熵 $ S^{(1,0)}_\nu $ 的普遍部分是 $ \nu = 1/q $ 的三次多项式，其系数 $ s_0, s_1, s_2, s_3 $ 为异常多项式 $ \mathcal{I}_8 $ 中异常系数 $ \alpha, \beta, \gamma, \delta $ 的线性组合。
• 系数 $ s_0 = \frac{1}{6}(8\alpha - 8\beta + 8\gamma + 3\delta) $，其余系数 $ s_1, s_2, s_3 $ 亦由相同的异常数据导出。
• 本文建立了 $ c $-型Weyl异常 $ c_1, c_2, c_3 $ 与异常系数 $ \alpha, \beta, \gamma, \delta $ 之间的线性关系，其中约束条件 $ c_1 - 2c_2 + 6c_3 = 0 $ 被强制满足。
• 导数 $ S'_{q=1} $ 被证明与应力张量中心电荷 $ C_T $ 和R-当前中心电荷 $ C_J $ 的线性组合成正比，反映了多重态结构。
• 三阶导数 $ S''''_{q=1} $ 以应力张量和R-当前的连通三线函数形式表达，这些函数由共形对称性和异常系数完全确定。
• 关于超对称Rényi熵与异常多项式等变积分之间联系的推测，已通过4D和6D SCFTs中的已知结果得到验证，支持其在偶数维中的有效性。