[논문 리뷰] Supersymmetry of the chiral de Rham complex II: Commuting Sectors

Reimundo Heluani|ArXiv.org|2008. 06. 05.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 7인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 칼라비-유만의 칼라비-유만의 복소 구조와 켈러 형식을 사용하여 츄얼 드 라함 복합체에 두 개의 가환하는 N=2 초등방대 구조를 구성하고, 이들이 두 개의 N=2 대칭을 유지하는 비선형 자기동형사를 생성함을 증명한다. 하이퍼켈러 켈러의 경우, 이를 두 개의 가환하는 N=4 초등버텍스 대수로 확장하여 스트링 이론의 단축화된 시그마 모델에서의 확장 초대칭을 기하학적으로 실현한다.

ABSTRACT

We construct two commuting N=2 structures on the space of sections of the chiral de Rham complex (CDR) of a Calabi-Yau manifold. We use this extra supersymmetry to construct a non-linear automorphism of CDR preserving these N=2 structures. Finally, we show how to extend these results to construct a commuting pair of N=4 super-vertex algebras in the Hyper-Kahler case.

연구 동기 및 목표

• 칼라비-유만의 츄얼 드 라함 복합체(CDR)에 두 개의 가환하는 N=2 초등방대 구조를 구성하는 것.
• 두 개의 N=2 구조를 모두 유지하는 CDR의 비선형 자기동형사를 정의하는 것.
• 이 구성 과정을 하이퍼켈러 다양체로 확장하여 두 개의 가환하는 N=4 초등버텍스 대수의 존재를 보여주는 것.
• 켈러 형식과 복소 구조에 관련된 슈퍼필드를 통해 반-twisted 시그마 모델의 확장 초대칭을 기하학적으로 실현하는 것.

제안 방법

• 켈러 형식 $ \omega $ 에서 슈퍼필드 $ J_{\rho} $ 를 구성하여, 임의의 켈러 다양체에서 N=2 초등방대 구조를 생성하는 것.
• 칼라비-유만 다양체에서 메트릭에서 유도된 슈퍼필드 $ H $, 복소 구조에서 유도된 슈퍼필드 $ J $, 켈러 형식에서 유도된 슈퍼필드 $ J_{\omega} $ 가 두 개의 가환하는 N=2 구조를 생성함을 보이는 것.
• 레비-치비타 접속과 메트릭을 사용하여 미분형식과 벡터장을 교환하는 새로운 초대칭 변환을 정의하고, 이로부터 새로운 슈퍼필드 $ \tilde{a}_i $ 를 유도하는 것.
• 메트릭이 $ bc-\beta\gamma $ 시스템에서의 역할을 바꿈으로써 $ \phi^i $ 와 $ \psi_i $ 의 역할을 교환함으로써 CDR의 비선형 자기동형사를 구성하고, 이로 인해 두 개의 N=2 구조를 유지하는 것.
• 하이퍼켈러의 경우, 세 개의 복소 구조 $ J_i $ 와 세 개의 켈러 형식 $ \omega_i $ 에 대응하는 세 개의 슈퍼필드 $ J_i $ 와 세 개의 슈퍼필드 $ J_{\omega_i} $ 를 정의하고, 이들이 두 개의 가환하는 N=4 초등버텍스 대수를 생성함을 보이는 것.
• SUSY 리 순환 대수 공리와 자코비 항등식을 사용하여 초등방대 대수의 닫힘성과 가환성을 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 켈러 다양체의 츄얼 드 라함 복합체에 켈러 형식을 사용하여 두 번째 N=2 초등방대 구조를 구성할 수 있는가?
• RQ2 복소 구조와 켈러 형식이 생성하는 N=2 구조가 칼라비-유만 다양체에서 가환하는가?
• RQ3 칼라비-유만 다양체에서 두 개의 N=2 구조를 모두 유지하는 츄얼 드 라함 복합체의 비선형 자기동형사가 존재하는가?
• RQ4 이 구성 과정을 하이퍼켈러 다양체로 확장하여 두 개의 가환하는 N=4 초등버텍스 대수를 얻을 수 있는가?
• RQ5 하이퍼켈러의 경우 초등방대 생성자들의 대수적 구조는 무엇이며, 이는 기하학적 구조와 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 모든 켈러 다양체에서, 리만 메트릭에서 유도된 슈퍼필드 $ H $ 와 켈러 형식에서 유도된 슈퍼필드 $ J_{\omega} $ 가 중심 전하 $ 3\dim_{\mathbb{R}}M $ 인 N=2 초등방대 구조를 생성한다.
• 칼라비-유만 다양체에서 복소 구조 $ J $ 와 켈러 형식 $ \omega $ 가 생성하는 N=2 구조는 가환하며, 중심 전하 $ 3\dim_{\mathbb{C}}M $ 인 두 개의 N=2 복사본을 생성한다.
• 두 개의 N=2 구조를 유지하는 츄얼 드 라함 복합체의 비선형 자기동형사가 구성되었으며, 이는 메트릭이 $ bc-\beta\gamma $ 시스템에 작용함으로써 유도된다.
• 하이퍼켈러의 경우, 세 개의 복소 구조 $ J_i $ 와 세 개의 켈러 형식 $ \omega_i $ 가 여섯 개의 슈퍼필드를 생성하고, 이들이 중심 전하 $ 3\dim_{\mathbb{C}}M $ 인 두 개의 가환하는 N=4 초등버텍스 대수를 생성한다.
• SUSY 리 순환 대수의 자코비 항등식을 사용하여 N=4 구조의 대수적 닫힘성을 검증하였으며, 초등방대 대수의 일관성을 확인하였다.
• N=4 구조의 중심 전하는 $ c = 12n $ 이며, 여기서 $ n = \dim_{\mathbb{C}}M $ 이고, N=4 대수는 슈퍼필드 $ J_1^\pm = \frac{1}{2}(J_1 \pm J_{\omega_1}) $ 등으로 실현된다.