[논문 리뷰] Suppression of unbounded gradients in a SDE associated with the Burgers equation

Sergio Albeverio, Olga Rozanova|ArXiv.org|2008. 04. 09.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 6인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 균일한 노이즈를 가진 랑주반 SDE를 통해 점성 없는 버거스 방정식에서 확률적 편항이 기울기 폭발을 억제하는지 조사한다. 1차원에서 초기 입자 분포가 |x|^{-2} 또는 그 이상으로 감쇠하는 경우, 평균 속도의 공간 도함수는 유한하게 유지되어 특이성이 제거됨을 보여주며, 그 외의 경우는 결정론적 경우와 동일한 시간에 폭발이 발생함을 밝힌다. 이러한 억제 효과는 초기 입자 분포의 감쇠율에 의해 결정된다.

ABSTRACT

We consider the Langevin equation describing a stochastically perturbed by uniform noise non-viscous Burgers fluid and introduce a deterministic function that corresponds to the mean of the velocity when we keep the value of position fixed. We study interrelations between this function and the solution of the non-perturbed Burgers equation. Especially we are interested in the property of the solution of the latter equation to develop unbounded gradients within a finite time. We study the question how the initial distribution of particles for the Langevin equation influences this blowup phenomenon. It is shown that for a wide class of initial data and initial distributions of particles the unbounded gradients are eliminated. The case of a linear initial velocity is particular. We show that if the initial distribution of particles is uniform, then the mean of the velocity for a given position coincides with the solution of the Burgers equation and in particular does not depend on the constant variance of the stochastic perturbation. Further, for a one space space variable we get the following result: if the decay rate of the power-behaved initial particles distribution at infinity is greater or equal $|x|^{-2},$ then the blowup is suppressed, otherwise, the blowup takes place at the same moment of time as in the case of the non-perturbed Burgers equation.

연구 동기 및 목표

• 점성 없는 버거스 방정식에서 기울기 폭발(기울기 난관)이 발생하지 않도록 확률적 편항이 작용할 수 있는지 조사한다.
• 관련된 SDE에서 입자의 초기 분포가 평균 속도장의 폭발 시간과 행동에 어떻게 영향을 미치는지 분석한다.
• 확률적 평균 속도가 결정론적 해와 동일한 폭발 시간을 유지하는 조건을 규명한다.
• 노이즈 강도 σ → 0의 극한을 고려하고, 이를 압력 없는 기체 역학 및 점성 정규화와 연결한다.

제안 방법

• 고정된 노이즈 강도 σ를 가진 2n차원 이토 SDE를 위치 X(t)와 속도 U(t)에 대해 수립한다.
• 평균 속도 ū(t,x)를 X(t)=x 조건 하에서 U(t)의 조건부 기대값으로 정의하며, 연속 밀도 P(t,x,u)에 대한 포커-플랑크 방정식에서 유도한다.
• P의 특성 함수를 구하기 위해 x와 u에 대한 푸리에 변환을 사용하여 포커-플랑크 방정식을 푸는다.
• 선형 초기 속도 u₀(x)=αx (α<0)에 대해 임계 시간 T=−1/α에서 x=0에서 평균 속도 도함수 ∂ū/∂x의 점근적 행동을 분석한다.
• 라플라스 방법과 점근적 분석을 적용하여 초기 입자 밀도 f(x)∼(1+|x|²)^k를 포함하는 적분을 평가한다.
• σ→0의 극한을 고려하여 확률적 평균이 압력 없는 기체 역학 모델과 어떻게 연결되고, 결정론적 버거스 해로 수렴하는지 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확률적 노이즈는 점성 없는 버거스 방정식에서 기울기 폭발의 형성을 억제할 수 있는가?
• RQ2 초기 입자 분포 f(x)는 평균 속도장 ū(t,x)의 폭발 시간과 행동에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 기울기 폭발이 억제되는지를 결정하는 f(x)의 무한대에서의 임계 감쇠율은 무엇인가?
• RQ4 f(x)가 균일할 경우 평균 속도장 ū(t,x)는 결정론적 버거스 해와 일치하는가?
• RQ5 노이즈 강도 σ→0일 때 평균 속도의 극한 행동은 어떠한가?

주요 결과

• 1차원에서 초기 입자 분포가 |x|^{-2} 또는 그 이상으로 감쇠하는 경우(즉, k≤−1), 임계 시간 T=−1/α에서 평균 속도의 공간 도함수 ∂ū/∂x는 유한하게 유지되어 폭발이 억제됨을 나타낸다.
• 초기 입자 분포가 |x|^{-2} 이하로 감쇠하는 경우(즉, k>−1), 평균 속도 도함수는 결정론적 경우와 동일한 시간 T에서 폭발한다.
• k=−1/2일 경우, x=0에서 ∂ū/∂x의 폭발 속도는 ε→0−일 때 1/(ε ln(−ε))에 비례하는 점근적 비율을 가진다. 여기서 ε=t−T이다.
• f(x)가 균일할 경우(k=0), 평균 속도 ū(t,x)는 σ에 관계없이 결정론적 버거스 방정식의 해와 정확히 일치한다.
• 선형 초기 속도 u₀(x)=αx (α<0)에 대해, 폭발 시간 T=−1/α는 k>−1이면 확률적 평균에서도 유지되나, k≤−1이면 억제된다.
• σ→0의 극한에서 평균 속도 ū(t,x)는 결정론적 버거스 방정식의 해로 수렴하며, 포커-플랑크 방정식은 압력 없는 기체 역학 모델로 축소되며, 리듬항 Λ→0이 된다.