[논문 리뷰] Sur le nombre de points algebriques ou une fonction analytique transcendante prend des valeurs algebriques

Andrea Surroca|arXiv (Cornell University)|2002. 02. 19.

Meromorphic and Entire Functions참고 문헌 7인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 해석적 초월 함수가 대수적 값을 취하는 대수적 점들의 분포를 조사하며, 차수와 높이가 유계인 점들을 세는 데 중점을 둔다. 모든 대수적 α에 대해 f(α) ∈ ℚ[α]를 만족하는 전함수 초월 함수를 구성하고, 임의의 D ≥ 1에 대해, φ(x)/x → 0인 모든 φ에 대해, 단위 원판 내에서 이러한 점들의 수가 exp(D(D+1)φ(N))보다 더 빠르게 증가하는 무한히 많은 N이 존재함을 증명한다. 또한 일반적인 해석성 조건 하에서 동일한 수를 세는 데 다항식 상한을 확립한다.

ABSTRACT

We study the set of algebraic numbers of bounded height and bounded degree where an analytic transcendental function takes algebraic values.

연구 동기 및 목표

• 초월 해석 함수가 대수적 값을 취하는 대수적 점들의 구조와 밀도를 이해하는 것.
• 차수 D와 절대 로그 높이 N으로 제한된 경우 이러한 점들의 기수를 분석하는 것.
• 모든 복소수 대수적 α에 대해 f(α) ∈ ℚ[α]를 만족하는 전함수 초월 함수 f를 구성하는 것.
• 단위 원판 내에서 이러한 점들의 수에 대해 날카로운 점근적 상한—하한 및 상한—을 확립하는 것.
• 모든 큰 N에 대해 일관되게 개선될 수 없음을 보여주며, 하한에서 '무한히 많은 N'이 필요하다는 점을 부각하는 것

제안 방법

• 대수적 수를 d(α)와 절대 로그 높이 h(α)로 매개변수화하며, Mahler 측도 M(α)를 사용해 h(α) = (1/d(α)) log M(α)로 정의한다.
• ΣD,N(f,r)를 ℚ̄ ∩ D̄(0,r) 내부의 α의 집합으로 정의하며, [ℚ(α,f(α)):ℚ] ≤ D, h(α) ≤ N, h(f(α)) ≤ N 를 만족한다.
• 유리수 계수 다항식 Pk의 급수를 사용해 함수 f를 구성하며, Galois 불변성에 의해 f(α) ∈ ℚ[α]임을 보장한다.
• Siegel의 보조정리를 사용해 각 변수에 대해 유계 차수를 가진 비영의 정수 계수 다항식 P ∈ ℤ[X,Y]를 생성하며, S_{D,N}에서 0이 되도록 한다.
• Schwarz의 보조정리와 Liouville의 부등식을 적용해 |F(α)| = |P(α,f(α))|를 유계로 제한하고, 모순을 통해 F(α) = 0이 되도록 α ∈ S_{D,N+1}에서 강제한다.
• ΣD,N(f,r)에 너무 많은 점이 존재한다고 가정하면 F가 무한집합에서 0이 되며, 이는 고립된 영점 정리에 위배됨을 유도해 모순을 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 대수적 α에 대해 f(α) ∈ ℚ[α]를 만족하는 전함수 초월 함수 f를 구성할 수 있는가?
• RQ2 차수와 높이가 유계인 대수적 점 α의 수가 얼마나 빠르게 증가할 수 있는가? 이는 f(α)가 또한 대수적일 때이다.
• RQ3 D와 N에 대한 이러한 점들의 수에 대해 일반적인 상한이 존재하는가? 그리고 모든 큰 N에 대해 일관되게 개선될 수 있는가?
• RQ4 N이 증가함에 따라 |ΣD,N(f,r)|의 날카로운 점근적 행동은 무엇이며, 함수 f에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 하한 구성이 무한히 많은 N에 대해 성립할 수 있으며, 왜 모든 큰 N에 대해 확장될 수 없는가?

주요 결과

• 모든 α ∈ ℚ̄에 대해 f(α) ∈ ℚ[α]를 만족하는 전함수 초월 함수 f가 존재한다.
• 모든 x → ∞일 때 φ(x)/x → 0인 양함수 φ에 대해, 무한히 많은 N에 대해 |ΣD,N(f,1)| ≥ (1/2) exp(D(D+1)φ(N))를 만족하는 전함수 초월 함수 f가 존재한다.
• D(0,R)에서 R > r > 0 인 분석 함수 f에 대해, 무한히 많은 N에 대해 |ΣD,N(f,r)| < γ D³ N² 를 만족하는 상수 γ > 0 가 존재한다.
• 하한은 모든 큰 N에 대해 개선될 수 없으며, 상한 역시 모든 N에 대해 균일하게 강화될 수 없다.
• 차수 ≤ D 이고 높이 ≤ N 인 대수적 수의 집합 E_{D,N}의 기수는 exp(D(D+1)(N−1)) < ε_{D,N} ≤ exp(D(D+1)(N+1)) 를 만족한다.
• 구성은 유리수 계수 다항식 Pk의 수열에 기반하며, Galois 작용에 대해 고정되어 있어 모든 α에 대해 f(α) ∈ ℚ[α]임을 보장한다.