[논문 리뷰] Symmetric Gapped Interfaces of SPT and SET States: Systematic Constructions

Juven Wang, Xiao-Gang Wen외 1명|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|2017. 05. 18.

Surface and Thin Film Phenomena인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 군 확장과 동적 게이지화를 통해 대칭 보호(topological) (SPT) 및 대칭 강화(topological) (SET) 위상에 대한 대칭적인 가시 경계와 인터페이스의 체계적 구성 방법을 제시한다. $ G $ 대칭을 $ 1 \to K \to H \to G \to 1 $ 형태로 더 큰 군 $ H $로 확장함으로써, 이전에는 비정상적인 $ G $ 대칭이었던 경계의 이상성을 제거하여, 유한 대칭군을 포함한 시간 역전 및 유니터리 대칭을 갖는 모든 차원 $ d \geq 2 $ 에서 정확히 해석 가능한 격자 모델을 가능하게 한다. 핵심 결과는 대칭 확장, 대칭 붕괴, 게이지화를 통합하는 일반적인 프레임워크를 제공함으로써 위상적으로 순서가 있는 대칭적인 가시 경계를 실현하는 것이다.

ABSTRACT

Symmetry protected topological (SPT) states have boundary 't Hooft anomalies that obstruct an effective boundary theory realized in its own dimension with UV completion and an on-site $G$-symmetry. In this work, yet we show that a certain anomalous non-on-site $G$ symmetry along the boundary becomes on-site when viewed as an extended $H$ symmetry, via a suitable group extension $1 o K o H o G o1$. Namely, a non-perturbative global (gauge/gravitational) anomaly in $G$ becomes anomaly-free in $H$. This guides us to construct exactly soluble lattice path integral and Hamiltonian of symmetric gapped boundaries, always existent for any SPT state in any spacetime dimension $d \geq 2$ of any finite symmetry group, including on-site unitary and anti-unitary time-reversal symmetries. The resulting symmetric gapped boundary can be described either by an $H$-symmetry extended boundary of bulk $d \geq 2$, or more naturally by a topological emergent $K$-gauge theory with a global symmetry $G$ on a 3+1D bulk or above. The excitations on such a symmetric topologically ordered boundary can carry fractional quantum numbers of the symmetry $G$, described by representations of $H$. (Apply our approach to a 1+1D boundary of 2+1D bulk, we find that a deconfined gauge boundary indeed has spontaneous symmetry breaking with long-range order. The deconfined symmetry-breaking phase crosses over smoothly to a confined phase without a phase transition.) In contrast to known gapped interfaces obtained via symmetry breaking (either global symmetry breaking or Anderson-Higgs mechanism for gauge theory), our approach is based on symmetry extension. More generally, applying our approach to SPT, topologically ordered gauge theories and symmetry enriched topologically ordered (SET) states, leads to generic boundaries/interfaces constructed with a mixture of symmetry breaking, symmetry extension, and dynamical gauging.

연구 동기 및 목표

• SPT 및 SET 상태의 대칭적인 가시 경계를 구성하는 데 있어, 비현장(global) 대칭으로 인한 't Hooft 이상'으로 인해 어려움을 겪는 문제를 해결하기 위해.
• 가시 경계 및 인터페이스를 구성하는 데 있어 대칭 확장, 대칭 붕괴, 동적 게이지화를 체계적으로 통합하는 일반적인 프레임워크를 개발하기 위해.
• 모든 유한 대칭군 $ G $, 특히 유니터리 및 반유니터리 시간 역전 대칭을 포함하여, 모든 시공간 차원 $ d \geq 2 $ 에서 이러한 가시 경계의 존재를 증명하기 위해.

제안 방법

• 군 확장 $ 1 \to K \to H \to G \to 1 $ 을 활용하여 $ G $-코사이클을 제거함으로써, 이전에는 비정상적인 $ G $-대칭을 경계에서 현장에만 국한된 $ H $-대칭으로 전환한다.
• 확장된 $ H $-대칭을 이용해 정확히 해석 가능한 격자 경로 적분 및 해밀토니안 모델을 구성함으로써, UV 완비성과 이상 없음( anomaly freedom)을 보장한다.
• 두 종류의 경계 모델을 도입한다: 국소성 위반을 일으키는 '강성' 게이지 장이 있는 모델과 국소성을 유지하는 '기원적 연성' 게이지 장이 있는 모델.
• 구성의 코보르디즘 및 군 코homology 접근법을 활용하여, 표준 군 코homology 프레임워크를 초월해 SPT 및 SET 상태를 분류하고 구성한다.
• SPT 상태에서의 비현장 대칭 게이지화를 통합 원리로 활용하여, 군 준동형사상에 의해 게이지 이론 인터페이스를 구성하는 것과 동치임을 보여준다.
• 다른 위상적 위상(예: SPT, SET, 위상적 순서) 사이의 가시 인터페이스가 대칭 확장과 대칭 붕괴를 혼합한 방법으로 실현 가능하며, 게이지 플럭스 호몰로지에 대한 제약 조건이 존재한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SPT 상태에 대해 $ d \geq 2 $ 에서 유한 대칭군(시간 역전 포함)을 갖는 모든 경우에 대해 체계적으로 가시 경계를 구성할 수 있는가?
• RQ2 SPT 상태 경계에서 비현장 $ G $-대칭 이상은 어떻게 해결되어 이상 없고 현장에만 국한된 대칭으로 전환되는가?
• RQ3 SPT 상태의 대칭 경계를 방해하는 $ G $-코사이클을 제거하는 데 있어 군 확장 $ H $ 의 역할은 무엇인가?
• RQ4 대칭 확장과 게이지화의 통합 프레임워크를 통해 서로 다른 위상적 위상(예: SPT, SET, 위상적 순서) 사이의 가시 인터페이스를 구성할 수 있는가?
• RQ5 군 준동형사상 $ H \to G \times G' $ 이 $ G $-틀린 및 $ G' $-틀리지 않은 게이지 이론 사이의 일관된 게이지 인터페이스 구성이 가능하게 하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 유한 대칭군 $ G $, 특히 $ Z_2^T $ 시간 역전 대칭을 포함하여, 모든 $ d \geq 2 $ 에서 군 확장 $ H $ 를 통해 $ G $-코사이클을 제거함으로써 대칭적인 가시 경계가 존재한다.
• 이전에는 비현장이었던 경계의 이상적인 비현장 $ G $-대칭은 $ H $-대칭으로 간주할 때 현장에만 국한된 대칭으로 전환되어 이상 없이 된다.
• 가시 경계는 전역 $ G $-대칭을 갖는 위상적 $ K $-게이지 이론으로 실현될 수 있으며, 여기서 진동자는 $ G $ 의 분수 양자 수를 지닌다. 이는 $ H $ 의 표현을 통해 실현된다.
• 1+1D에서 2+1D SPT 상태의 비분리 게이지 경계는 장거리 질서를 가지는 자발적 대칭 붕괴를 보이며, 단순한 위상 전이 없이 봉쇄된 상태로 부드럽게 전이된다.
• SPT 및 위상적 순서 위상 사이의 가시 인터페이스는 군 준동형사상 $ H \to G \times G' $ 가 잘 정의되어 있고 플럭스 제약 조건이 충족될 경우, 혼합된 대칭 확장 및 붕괴를 통해 실현 가능하다.
• 이 프레임워크는 SPT 상태에서의 비현장 대칭 게이지화와 게이지 이론 인터페이스 구성 간의 통합을 제공하며, 이 두 관점은 공통의 대수적 구조를 통해 동치임을 보여준다.